探究三角形面积公式的向量表示

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1、探究三角形面积的向量表示陕西省洛南中学殷冬生一、问题提出三角形面积公式的表示形式有多种，常见形式有公式1：（依次是a，b，c边上的高）公式2：公式3：（R是的外接圆圆半径）公式4：（r是的内切圆半径）公式5：（是的内切圆半径）B(x,y)yxOC图2-8A(u,v)y高中数学中引入了平面向量后，三角形的面积又可以用向量的坐标表示。在北师大版教材高中《数学5(必修)》中，第48面的例3给出了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式，并给出了证明过程。具体如下：例3如图2-8,在中,求证：的面积.分析：已知向量的坐标，可以求出三角形的两边长度及夹角余弦，于是可依据上述三角形

2、面积公式2进行证明.证明：因为所以.这就得到了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式：公式6：在中，若则.学生思考：1.上述三角形面积公式6推导过程中使用了哪些数学知识？公式推导的依据是什么？2.学习了空间向量后，你能用空间向量的坐标表示三角形的面积吗？二、师生探究1.公式6的推导过程中用到了三角形的面积公式2、向量的数量积的定义、性质极坐标表示。公式6推导的依据是三角形的面积公式2.2.可以仿照平面向量表示三角形的面积公式的方法，用空间向量的坐标表示三角形的面积.三、问题解决在中，若求的面积S.解析：∵∴即公式7：在中，若则的面积为.四、应用举例已知的顶点A（1,1

3、,1），B（2,2,2），C（3,2,4）1求的面积.分析：可直接套用公式7，也可先求两边及其夹角余弦，再代公式2求解.解：，∴∵∴∴的面积为.五、师生反思用向量的坐标表示三角形的面积，其意义不在于用向量的坐标表示三角形的面积公式，而在于掌握用向量的坐标的计算三角形的面积.