向量数量积的坐标表示与度量公式.ppt

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1、2.3.3向量数量积的坐标表示与度量公式问题：如何用向量的长度、夹角反映数量积？如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？练习1：已知

2、a

3、=1，

4、b

5、=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为60°，求

6、a+b

7、；(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角.45°练习2：设i，j为正交单位向量，则①i·i=_______②j·j=________③i·j=________0111.向量内积的坐标运算a·b＝x1x2+y1y2.若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则推广1：设a=(x,y)，则

8、a

9、2=x2+y2或(长度公式)推广2：设A(x1,y1)、B(x2,y

10、2)，则(距离公式)推广3：cos=（）(夹角公式)2.向量垂直的充要条件已知两个向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，那么a⊥bx1x2+y1y2=0例1.设a=(3,1)，b=(1,2)，求ab，

11、a

12、，

13、b

14、，和解：ab=(3,1)(1,2)=3+2=5.

15、a

16、=

17、b

18、=cos=所以=45°例2.已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：△ABC是直角三角形证明：=(1,1),=(－3,3)所以=－3+3=0，即AB⊥AC，△ABC是直角三角形.例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。例4.

19、已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量。解：设所求向量为(x,y),则解得所求向量为例5．已知点A（a，b）与点A’（b，a）,求证直线y=x是线段AA’的垂直平分线。证明：设线段AA’的中点是M(x,y)，依据中点公式，有由此得x=y，点M在直线y=x上，在直线y=x上任取一点P(x,x)所以因此，直线y=x是线段AA’的垂直平分线.例6.已知a=(1,0)，b=(2,1)，当k为何实数时，向量ka－b与a+3b（1）平行；（2）垂直。解：ka－b=(k－2,－1),a+3b=(7,3),（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0,所以k=（2）由向量垂直条件得7(k－2)－3=0,所以

20、k=