33-34陈璐帆高二导学案

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1、宜春中学数学学科2・2册笫四章第1・2课时定积分的概念及性质导学案编号:33-34编写:陈璐帆审核：高二数学理科备课组学习目标与要求：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义，利用定积分的几何意义求简单函数的定积分。教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义.教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义.学习过程：一、预习團航，要点指津阅读课本75-79页，通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；认识定积分的定义。引例1•求rti抛物

2、线y=直线兀=1以及％轴所围成的平而图形的而积s。解：(1).分割在区间［0,1］上等间隔地插入n-1个点，将区间［0,1］等分成n个小区间:z-1i记第i个区间为—(心1,2,•••,/?),其长度为nnAr=——二一nnn分别过上述斤-1个分点作兀轴的垂线，从而得到斤个小曲边梯形，他们的面积分别记作:△S［,AS2，…，AS?I显然，S二工AS,/=!(2)近似代替•［•记f(x)=x2，如图所示，当刃很大，即心很小时，在区间—上，可以认为nn_函数f(x)=x2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点―处n的函数值/边

3、（如图）.这样，在区间Z-1上，用小矩形的面积AS：近似的代替即在局部,从图形上看，就是用平行于兀轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲范围内“以直代曲J则有△S产AS：=/Ax二n21（3）求和由①，上图中阴影部分的面积S”为Sn=X^；=Xfi=/=!n312+22++(h-1)20丄+(丄尸丄+……+(U)2丄nnnnn即山趋向于。时，5^11—1—趋向于s,从而有〃八1r1)(1Alim-i——1HT83(nJl2〃丿n3许多问题都可以山结为求这种特定形式和的极限事实上,一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v（r）,那么我们也可

4、以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”、“以直代曲”的方法及无限逼近的思想，求出它在a

5、取极限（逼近）对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.从而有定积分的概念一般地，设函数.门兀）在区间［曰,力］上连续，用分点a=x0

6、——/（$）/=1/=!n如果Dx无限接近于0（亦即斤t+oo）时，上述和式S”无限趋近于常数S,那么称fb该常数S为函数/（兀）在区间［⑦切上的定积分。记为：S=f（x）dx,Ja其中J—积分号，b一积分上限，d—积分下限，/（兀）一被积函数，x一积分变量，［a,b］—积分区间，fIx'dx—被积式。rb说明：（1）定积分S=

7、f（x）dx是一个常数，即S〃无限趋近的常数S（HT+oo时）记为JafbS=/（Qdi而不是二.Ja（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：〃等分区间》”］；②近似代替：取点打(如=lim丈/(6)H°:③求和:

8、y——/（即；④収极限：sz=in（3）曲边图形面积：S=£/（x>Ly；变速运动路程S=pv（r）dr:变力做功W=IF(r)drJa(-二)、定积分的儿何意义：当时，积分j7(x)<&在几何上表示由尹亍(X)、x=a、x=b与x轴所围成睛曲边梯形的面积。oabx特别地，当吋，冇^f(x)dx=0o肖/(x)<0时，由y寸(X)、x=a、x=h与x轴所围成的曲s="(gb9bf(x)dx=-Sa边梯形位于X轴的下方，积分f/(X)必在几何上表示上述曲边梯形面积的负值。J*b[-f(x)]dxarb=-JfMdx•Ja^fMdx=-S3)・定积

9、分的性质根据定积分的定义，定积分有如下性质(根据定积分的几何意义，画图简要说明)：b性质10kdx=k0-日)；性质2^f{x)dx=k^fx)dx{k为常数)(定积分的线性性质)；性质3\fx(x)±f2(x)]dx=£f}(x)dx±J"f2(x)dx(定积分的线性性质)；性质4「f(x)dx=[f(x)dx+「f(x)dx(其屮dvcvb)(定积分对积分区间的可加JaJaJc性)说明:①推广：『［£（兀）土厶⑴±・・・±九（兀）皿=『/;（兀皿±『/;（兀皿±・・・±『九（兀）JaJaJuJa②推广：fx）dx=f'1fx）dx+

10、「［f（%）▲+•••+fhf（x）dxJaJaJqJck二、自主探索，独立團考例1.根据定积分的儿何意义，用定积分表示图中阴影部分的面积例3.说明下