用微积分理论证明不等式的方法1

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1、用微积分理论证明不等式的方法高等数学小所涉及到的不等式，大致可分为两种：函数不等式（含变量）和数值不等式（不含变屋）.対于前者，一般nJ直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与询者相似.微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式.一、用导数定义证明不等

2、式法1.证明方法根据一导数定义导数定义：设函数y=/（X）在点。兀。的某个邻域内有定义，若极限存在'则称函数/（兀）在兀°可导，称这极限为函数『=/（兀）在点心Xfb兀—X。的导数，记作y=广（兀0）・2.证明方法：⑴找出兀（），使得）心广（兀0）恰为结论中不等式的一边；⑵利用导数的定义并结合已知条件去研究.3.例例1:设函数/（x）=axsinx+a2sin2x4-•••+ansinnx，其中a^a29--an都为实数,兀为正整数,已知对于一切实数兀,W

3、/（x）

4、<

5、sinx

6、,试证:+2偽+•••+叫

7、<1•证明：因fr（x）=aAcosx+2tz2cos2x+—

8、naflcosnx.则f'（0）=a】+2ar+…+n（in.得：f(0)=sinxxA->0兀一0I=li4xtOx=1.即Q]+2d”+•••+〃%?=lim<1./(兀)X由于f(x)0(/x)<

9、0),xe(6/^).定理二:设函数于0)在［d,b］连续，在(a,b)内可导,如果在(a,b)内广(%)>0(或/x)<0),那么/(兀)在［a,川上严格单调增加(或严格单调减少).定理三：设函数/•(兀)在(a,b)内可导,若ff(x)>0(或/z(x)<0),则/(x)在(。,方)内严格递增(或严格递减).上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.1.证明方法(1)构造辅助函数f(x),取立闭区间［a,b］；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅

10、助函数；③若所证的不等式涉及到幕指数函数，则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.(2)研究/(兀)在［a,®上的单调性，从而证明不等式.2.例例2：证明不等式：1+兀lnfx+J1+兀$)>J1+兀$(兀>0).证明：令/(x)=1+xln(x+Jl+兀$)—J1+F,兀e[0,+oo),易知/(x)在[0,+oo)上连续，且有广(x)=ln(x+J1匚7)>0,xw(0,+oo),由定理二可知于(兀)在［0,+8)上严格单调增加，所以由单调性定义可知/(x)>/(0)=0,(x>0),即1+xln(x+

11、J1+兀-)—J1+兀~>0.因此1+兀ln(x+Jl+)>Jl+(x>0).例3：求证:x证明：设辅助函数/(x)=——,U>0)•易知/(x)在0+00)上连续，R冇1+X广⑴=—>0,(x>0)•则由定理二可知/⑴在［0,4-00)上严格单调增加.由(l+x)「0

12、)

13、),得到a+bl+

14、d+b

15、<问+0

16、=M

17、b1+a+h1+tz

18、+b1+a+b—d+」%,所以原不等式1+问l+”l成立.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数/（劝应在某闭区间上连

19、续，开区间内可导，在闭区间的某端点处/（兀）的值为0,然后通过在开区间内fx）的符号來判断/*（兀）在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1.证明方法根据一极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件）设/（兀）在兀0连续，在U°（Xo,5）内可导，（i）若当XG（XO-^,x0）时,/z（x）＞0,当兀丘（兀0,兀o+5）时,广（兀）50,则于（兀）在无0取得极大值；（ii）若当xe（x0-3,x（））时,/V）＜0，当xe（x0,x0+J）时,fx）＞Ot则/⑴在旺）取得极小值.定理五（极值的第二充分条件）设