用微积分理论证明不等式的方法

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1、用微积分理论证明不等式的方法摘要：1.证明方法根据-定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一:设与为定义在上的两格可积函数,若则.微积分学基本定理:若函数在上连续,则由变动上限积分,...关键词：微积分,积分类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）　　本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！用微积分理

2、论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学卞国文212200高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性

3、质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则称函数在可导，称这极限为函数在点的导数，记作．2．证明方法：(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．3．例例1:设函数，其中都为实数，为正整数，已知对于一切实数，有，试证：．分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：．于是问题可以转化为证明．证明：因．则．利用导数的定义得：．由于．所以．即．4.适用范围用导数

4、定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数在可导，则在内递增（递减）的充要条件是：.定理二：设函数在连续，在内可导，如果在内（或），那么在上严格单调增加（或严格单调减少）.定理三：设函数在内可导，若（或），则在内严格递增（或严格递减）.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在

5、所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数，取定闭区间；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）.(2)研究在上的单调性，从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：.分析：利用差式构造辅助函数，则将要证明的结论转化为要证，而，因而只要证明.证明：令，易知在上连续，且有，由定理二可知在上严格单调增加，所以由单调性

6、定义可知，即.因此.例3：求证：.分析：不等式两边有相同的“形式”:：试构造辅助函数.利用定理二与在在上的单调性证明不等式.证明：设辅助函数.易知在上连续，且有.则由定理二可知在上严格单调增加.由，有，得到，所以原不等式成立.例4：证明：当时，.分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到，化简得，在此基础上可利用差式构造辅助函数：，因，因而只要证明即可.证明：分别对不等式得两边取对数，有，化简有：.设辅助函数，，易知在上连续，也在上连续，因，根据定理二，得

7、在上严格单调增加，所以.又由在上连续，且，根据定理二可知在上严格单调增加，所以，即，因此，即.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件）　　设在连续，在内可导，（i）若当时，,当时，,则在取得极大值;(ii)若当时，,当时，,则在取得极小值.定理五（极值的第二充分条件）　设在的某领域内一阶

8、可导，在处二阶可导，且，,(i)若，则在取得极大值；(ii)若，则在取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若