用微积分方法证明不等式

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1、!"#$%&&’()$*!+),$-.用微积分方法证明不等式!"用微积分方法证明不等式马燕$乌鲁木齐成人教育学院!新疆乌鲁木齐#$%%%&%摘要#不等式的求解证明方法很多!灵活运用不等式的性质与不等式的求解证明方法是解决许多问题的关键&文章采用举例的方式归纳和总结了微积分学中不等式证明的几种常见方法和技巧!突出了不等式的基本思想和基本方法&关键词#不等式’证明’中值定理’函数的单调性’泰勒定理中图分类号#’"(&文献标识码#)文章编号#"*("+,"(-$&%%*%%$+%%(-+%,!"#$%&’()*(*"+,-.,/01$23*4(5

2、+6/0123$!"#$%&’(#)*+(#,-*./0102*.*#*3!4"#5%.678889!:;&0-%78"+.49+#./01021032453024678917787867:;4<;40=>2?;@5AB7C0:01!;@;6@/0D05@767?:0917E?036E5@2D;4<2F:24@2<078@/0917901@578;40=>2?;@524F8?0G;E?560?0H@;4<@/0E06@30@/7F@7917:0;40=>2?;@5A./092901917:;F0667300G239?06@7;4F>H024

3、F6>3321;I06730H7337430@/7F624F@0H/4;=>06@7917:0;40=>2?;@5;4H2?H>?>6A:26;,.<"#;40=>2?;@5’917:0’3024:2?>0@/07103’8>4H@;742?3747@74;H;@5’.25?71(6@/07103在微积分课程中!不等式是证明许多定理与公式的工具"不等式表达了许多微积分问题的结果!而微积分中的一些定理和公式又可导出许多不等式"不等式的求解证明方法很多!本文用微积分学中的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧!便于更好地了解各部分内容的

4、内在联系!从总体上把握不等式的思想方法"-利用微分中值定理拉格朗日中值定理f(b)-f(a)=f’(x)(b-a),xÎ(a,b).!是函数与导数联系的纽带"如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后!与微分中值公式的结构有相似性!就可以利用微分中值定理来证明!关键是构造一个辅助函数!然后利用公式证明"121例"证明>ln(1+)(x>0)x(1+x)x1证明#"令y=!则x>0!相当于y>0!原不等式可化为#y-1+yln(1+y)>0x收稿日期#&%%*+%,+"*作者简介#马燕$"-(,+%!女!江苏宿迁人!乌鲁木齐成人教育学院计

5、算机科学技术系助教!主要从事高等数学教学与研究&!""#年$月第%&卷第’期乌鲁木齐成人教育学院学报!"JournalofUrumqiAdultEducationInstitute!令f(y)=y-1+yln(1+y)因为"#$%&$!故问题在于证明11+yf’(y)=1-ln(1+y)->0"y>0#21+y1+y用21+y乘以上式!可化为$21+yf’(y)=21+y-ln(1+y)-2>0再令g(y)=21+yf’(y)!又因为g(0)=0!故只需证$11g’(y)=->0%y>0&1+y1+y因为1+y<1+y故g’(y)>0则有$

6、f(y)>0即y-1+yln(1+y)证毕’!利用函数的极值与最值在不等式的证明中!我们常常构造函数""’&!""’&构造好后!如果无法得到"("’&)$或"*"’&+$!即当函数不具有单调性时!可以考虑用极值与最值的方法进行证明’例!设0£x£1,p>1!证明不等式1£xp+(1-x)p£1p-12pp证明$令f(x)=x+(1-x)p-1p-1p-1p-1则f’(x)=px+p(1-x)(-1)=p[x-(1-x)],p-2p-2f¢¢(x)=p(p-1)x+p(p-1)(1-x)111p-21p-2令f’(x)=0!得x=!则f¢¢(

7、)=p(p-1)[()+()]>0,(Qp>1);2222,所以""’&在’&处取得极小值-!111因为f(1)=f(0)=1,f()=!所以""’&在./!,0上得最大值为,!最小值为p-1222p-1因此1£xp+(1-x)p£1p-12’利用函数的凹凸性利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系!构造一个凸函数或凹函nn数来证明!由定义及判别法有$""’&在某区间上凸"凹&Ûf(x)>0(f(x)<0)x1+L+xn1x1+L+xn1f()<[f(x)+L+f(x)]¡¢f()>[f(x)+L+f(x)]由此可证

8、明1n1nnnnn一些不等式!特别是含有两个或两个以上变元的’x+y例1证明不等式(xlny+ylnx)>(x+y)ln(x>0,y>0,x¹y)2!"#$%&&’()$*!+)