34[1]圆锥曲线综合练习(2)

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1、第二章锥曲线综合练习(2)求曲线方程【例题精选】例1：点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线兀=8的距离的比是1：2,求点P的轨迹方程。并说明轨迹是什么图形。分析：此题的给出恰符合闘锥曲线的统一定义，又因为其比值为丄＜lo2所以轨迹是一个椭圆。解法一：用待定系数法c=2根据题意有c_1解得«=4Q2又・"2=q2_c2=1222・・・轨迹方程为—+^-=11612解法二：轨迹法设点Pgy),点P到定直线的距离为d=

2、兀一81即：(x-2)2+y2=-(x-8)24X2y2化简得：—+^-=1为所求方程动点P的轨迹方程。1612轨迹曲线是以4为半长轴、2巧为半短轴；屮心在原

3、点，坐标轴为对称轴的椭圆。例2：已知定圆x2+-2x=0,动圆M和定圆相切，又和y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程。分析：动圆和定圆外切Z和，圆又和y轴相切，圆的半径用圆心M(x,y)横坐标

4、x

5、来表示，这样动点M满足的儿何条件已得到，再由解析儿何中的公式代换了可得到的轨迹方程。解：设动圆圆心M(x,y)动鬪半径为国二H乂定圆x2+y2-2x=0即(X—1)2+尸=1圆心(11,0)半径R=1解有MC=/?+/?'心

6、兀

7、等式两边平方示得:U-l)2+/=(l+

8、x

9、)2化简得：=21x

10、+2x・・・兀》0时，轨迹方程为y2=4x无vO时，轨迹方程为y=0说明：先求动点满足的儿

11、何关系，然后用解析儿何中公式进行坐标论，化简方程，找到所有满足条件的点，这就是轨迹法求方程的最基本方法。例3：已知(DO方程为/+y2=],鬪外冇一定点A(4,0),求过点AH.和OO相切的动圆圆心的轨迹。分析：动圆的定圆相切分外切、内切两种悄况，若两圆外切，则圆心距等于两圆半径Z和，若两鬪内切，则闘心距等于两闘半径Z差，动点满足的几何条件找到了，轨迹方程可求。解法一：设动圆圆心为P(x,y),定圆圆心为(0,1),半径为1,由题可知动圆半径为

12、PA

13、。OP与定OO作外切时,有

14、PO

15、=

16、PA

17、+1OP与00内切时有

18、PO

19、=

20、PA-综上冇

21、

22、PO

23、-

24、PA

25、

26、=1即J兀2

27、+)“_J(兀_4尸+)“=±]化简得4(x2)2=4=i为所求动圆圆心的轨迹方程。15解法二由解法一得到

28、

29、PO

30、-

31、PA

32、

33、=1,这说明P点是到两个定点0(0,0),A(4,0)的距离的差的绝对值都是常数1。(1<4)的点英轨迹是以O点人点为焦点，対称中心为O'(2,0),对称点为坐标轴III2a=12c=4的双111

34、线。•/2a=1a-—22c=4c=210・・・轨迹方程为4(兀一2)2-兰〉，2=115*说明：本题对动点满足的儿何关系分析得出符合圆锥曲线的定义，故而用解法二更为简捷些。如果木题屮将“相切”改为“外切”或“内切”，则所得轨迹只能是双1111线的一支。例4

35、：已知椭圆与双曲线有共同的焦点，戸(0,4),局(0,4),并目-椭圆的长轴点是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹方程。分析：通过椭圆和双Illi线定义，建立动点满足的儿何条件，再坐标化而得到轨迹方程。或山焦点己知曲线中收为原点，处标轴为对称轴，再需一个条件用待定系法也可求轨迹方程。解法一：设椭圆与双曲线的交点为P(x,y)双曲线定义，及己知条件得：^^1+1^^1=211^1-1^11=±2(PFl-PF2)・•」PF、=3PF2或丨册冷啓丨即Jm，+4）2=3j/+（y_4）2化简得/+0—5)2=9或仲冷

36、啓丨即：/+(y+4)2+(y—4)2]化

37、简得：兀2+0+5)2=9兀2+(v_5)2=9•••所求轨迹方程为°J(兀工0)兀2(歹+5)2=9轨迹是两个圆除去与y轴的交点。解法二：由题意设双曲线的实半轴长为。(2

38、y

39、22代回(2)中消去G得二=12

40、

41、yl16-

42、j

43、若y>0吋y=y22y*二]2y16-2y即(16-2y)y-2x2=2(16-2y)即x2+(y-5)2=9•/2

44、yl=y/.2