3静定结构的内力分析

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1、第3章静定结构的内力分析3.1静定梁3.1.1单跨静定架单跨静定梁的计算在材料力学中己作详细讨论。例如图3—la所示简支伸臂梁，通过计算可绘出其内力图如图3—lb、c所示。现在就图3-1a所示单跨伸臂梁讨论•内力图有关的一些问题。图3-1若以x表示梁中某一截而的位量，则此截而上的内力可用x的凶数來表示，这就是内力函数,据此作出的图形就是内力图。掌握各内力函数Z间和内力函数为荷载Z间的微分关系将有助于对内力图进行分析。图3-2所示为某一梁中的一个微段.考虑该微段的平衡，可得如下的微分关系式：cIFq(x)dx=-g(兀)(3-1)dM(x)dx(X)d2M（x）/、—；—=—q（Qdx「内力图总

2、是山苦干段直线和曲线所纽成。例如图3-lb所示弯矩图，山五段冇•线和一•段曲线组成；图3—lc所示的剪力图，由五段直线组成。内力图的这种特点是由梁上荷载的分布情况所决定的。一般说，分布于梁上的荷载使梁的某些区段成为无荷载区（q=0））:使另一些区段成为分布荷载区（通常为均布荷载区，即q为常数；或者直线分布荷载区，即q为x的一次函数）。根据式（3—1）的微分关系可知，在无荷载区段，I大lq=O,所以剪力©为常数，弯矩M为x的一次函数，故①图为平行于基线（x轴）的直线，M图为斜立线（如图3—1中AG梁的AC、CD、EF、FB、BG段）。在均布荷载区段，因q为常数，所以剪力①为x的一次函数，弯矩M为

3、x的二次函数。因此，伦图为斜立线，M图为二次抛物线（如图3—1中AG梁的DE段）。同理，在荷载为直线分布的区段，因q为x的一次函数，所以①图为二次抛物线，M图为三次抛物线，本章习题3—6中的AB段将是这一情况。集屮荷载作川点（如图3—1屮AG梁的C、B点）、集屮力矩作川点（如AG梁的F点）以及分布荷载的两端（illAG梁的D、E点）是荷载分布的间断点。在这些点处，内力图具有一定的特征。如集中荷载作用点处，剪力图发牛突变，弯矩图发牛转折；集中力矩作用点处弯矩图发生突变，剪力图无变化；分布荷载的两端处，弯矩图的直线段与曲线段在此相切等。梁的端点的内力有时是给定的，不需计算。如钱支端（如图3—1中A

4、G梁的A端），有集中力矩作用时，其弯矩等于集中力矩的大小；无力矩作用时则等于零。对于自由端（如图3—1中AG梁的G端），受集中荷载作用时，其剪力等于集中荷载之值，而弯矩等于零；若无荷载作用.则其剪力和弯矩均等于零。以上扼要说明了内力图的一些特征，将有肋于正确地绘出内力图。学习中应注意加深理解，熟练掌握。绘制内力图时，可根据荷载分布情况分段进行。如图3—1中AG梁的M图，可分为六段。对于直线段，只要将两端的弯矩坚标定出，然后以直线连接即得。M图的1111线段，例如均布荷载作用的DElx段，定出两端点的竖标后再采用叠加法绘出其图形。下面介绍用叠加法绘制均布荷载作用区段的M图。图3—3a为某一受均布

5、荷载作用的杆段从，图3—3b为具有同样跨度的受同一均布荷载作用2的简支梁。因为荷载相同.所以它们有同样的微分关系E卑=q积分两次后可得A/（x）=-—x2+C}x+C92一式中G、C2为两个待定常数。利用兀=0吋，M=Mik；x=l吋，M=Mki可以求得G、C2o上述边界条件不但适川于弘杆段，而且也适川于图3—3b所示的简支梁。由此可知，杆％的弯矩方程与图3—3b所示简支梁的弯矩方程将完全相同，所以它们的弯矩图也相同。对于简支梁来说,其弯矩图等于图3-3c和图3-3d所示两个弯矩图叠加。图3-3c为两端力矩和M竝作用下的弯矩图，图3—3d为均布荷载q作用下的弯矩图。叠加方法可按下述步骤进行：首

6、先用虚线I田i岀两个端力矩作用下的弯矩图，也就是图3—3e中的虚线再过杆端屮点作杆轴的垂线交熄线于y图3—3占--c点，然后过c点在垂线上沿荷载q的指向量取长度等于右/2的线段cd,最后用光滑曲线将a、d、b三点连接，此曲线与基线所围成的图形即为秤加后的弯矩图（图3-3e）o图3-1a中DE段的弯矩图就是按这一方法绘出的。下血讨论斜简支梁。如图3—4a所示，斜简支梁的倾角为作用在梁上的均布荷载g沿水平分布，若兀轴沿梁轴布置，则得Oxy坐标系；若兀轴沿水平方向布置，则得Oxy坐标系。现讨论斜简支梁计算中的两个问题：斜简支梁的内力表达式列内力表达式时，按习惯取Oxy标系，任一截而K的位置以兀表示。

7、取图3-4b所示隔离体，l+l=0得弯矩表达式为(a)”長即得斜梁中点的弯矩为宁。若以咻示相应水平而支梁(其荷载和跨度与斜简支梁相同，如图3-4c所示)的弯矩，贝I」式(a)可写为(b)考虑图3・4b所示隔离体匕各力对y轴投影的平衡条件，可得剪力表达式为(c)Fqk=(号_牡)cosq或写成cosa(d)式中Fqk为相应水平简支梁的剪力。JL3-4考虑图3-4b所示隔离体上各力对x轴投影的平衡条件