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《【解析版】一类图形折叠问题的解法与思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一类图形折叠问题的解法与思考“图形的轴对称”是“图形的变化”中的一个重要部分.我们知道，对图形进行“折叠”操作，能得到轴对称图形屮的一系列定理和性质，因此，“折程问题”往往也是中考命题的一个热点，而対于学生來说，这类问题是一个难点，本文通过举例分析，希望能给大家带來一些思考，给学生解题带来一些灵感.例1（2009年南京屮考题）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，
2、折痕为EF,展平纸片后得到AAEF（如图2）.小明认为AAEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.分析在解题过程中，部分学生从本题的结论入手，简单的认为通过两次折叠，AE和AF是可以重合的，直接得到AAEF是等腰三角形；或者在连结DE,DF后（如图3）,凭感觉认为△AED^AAFD,但又找不到可以证明的条件，这两种做法显然是不对的.究其原因，E、F两点是在第二次折叠中产生的，无法判断它们在第一次折叠中是否重合，更无法直接判断出DE与DF,ZEDA与ZFDA的关系.大部分学生对于笫一次折叠的认识是比较清晰的，
3、很明显根据折叠的结果一一AC落在AB边上，得到ZBAD=ZCAD.而对于的第二次折叠，学生会感觉结论非常之多，有的学生在添加了DE,DF两条辅助线后，根据“成轴对称的两个图形全等”得到3对全等的三角形,从而产生很多相等的角和相等的线段，却无从下手.这里给出以下儿种解法：解法一如图3,证明四边形AEDF是菱形，从而得到AE=AF.根据题意，知ZEAD=ZEDA,ZEAD=ZFAD,可得ZEDA=ZFAD,从而证得ED〃AF.同理可证AE〃FD,即四边形AEDF是平行四边形，根据题意可得AE=DE,从而证明四边
4、形AEDF是菱形，得到AE=AF,即AAEF是等腰三角形.解法二如图3,证明ZAEF=ZAFE,根据“等角对等边”得到AE=AF.根据解法一，可证得AE〃FD,从而得到ZAEF=LDFE・根据“折叠”，易知ZAFE=LDFE,可得ZAEF=ZAFE,即ZAEF是等腰三角形.以上两种解法利用了角平分线、平行线和等腰三角形组合而成的一个基本图形，将本题中的这个基本图形提取出来（如图4）.其中，若AB〃FD,FE平分ZAFD,则可证得AAEF是等腰三角形；若FE平分ZAFD,AAEF是等腰三角形，则可证得AB〃
5、FD；若AB〃FD,△AEF是等腰三角形，亦可证得FE平分ZAFD.除了以上两种思路，我们还有更简洁的解法，即运用轴对称的性质：“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分”，很容易完成证明.解法三如图5,设AD与EF的交点为0,根据“折叠”,可得EF是AD的垂直平分线,即ZA0E=ZA0F=90°.再由A0=A0,ZEA0=ZFA0.可证得AAEO竺AAFO,得到AE=AF,即AAEF是等腰三角形.例2如图6,将矩形ABCD折叠，使得点A落在CD上的E点，折痕为FG,若AD=15cm,AB=12c
6、m,FC=13cm,则DE的长度为cm.分析学生根据解题经验，首先想到利用AF与EF的相等关系，在RtADEF中，运用勾股定理解决问题；同时也注意到AB和FG的数值，很容易联想到5、12、13这组勾股数,自然会想象将AB平移到图7中GM的位置,即作GM丄AD,得到MF=5,但这样也难以解决问题.与例1一样，考虑到点A按要求折叠得到的点E恰好落在了DC上，这就明显提示了点E与点八的对应关系.折痕FG也就是对称轴是A、E连线的乖直平分线；同时，当折叠得到的全等关系无法解决问题吋，要尝试利用折叠带来的垂直关系.于
7、是，连结A、E,得到一个新的RtAADE,其中线段AD的长度为己知，并且通过AE和GF的垂直关系，易证ZFAO与ZAFO互余；再配合ZMGF与ZMFG的互余关系，从而证得ZMGF=ZFAO,于是可以得到AMCF-ADAE；再运用相似图形对应线段成比例的关系求得DE的长度.例3(2012年深圳中考题)如图8,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G.(1)求证：AG=C'G；(2)如图9,再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN,E7交
8、AD于点M,求EM的长.分析第(1)问比较简单，从略.第(2)问中的“再折叠一次”又是先确定了一组对应点后进行的折叠，所得到的EN是AD的垂直平分线是解决这个问题的金钥匙，它有三个重要意义：一是确定△EMD的的形状，这是一个直角三角形，即确定解题思路，通过解RtAEMD求EM的长度；二是得到RtAEMD中一条直角边DM的长度，DM=AM=-AD=4cm：2三是得到EN与DC的平行关系，配合第一次折叠中DN平分ZE
