函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法.doc

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1、函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法xyoABCD图1一、函数中的图形平移问题[例1]（2003年上海）已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC。求以直线CD为图象的函数解析式。[思路分析]因为直线经过A（0，4）、B（2，0）两点，所以可得以直线AB为图象的一次函数解析式为y=-2x+4.由于DC//AB，设以直线CD为图象的一次函数解析式为y=-2x+b，由于DB=DC，所以DB=DC，DO⊥BC,所以OB=OC，点C的坐标是（-2，0）

2、，得b=-4，所以以直线CD为图象的一次函数解析式为y=-2x-4【点拨】（1）直线平行则斜率k相同（2）注意函数题目中几何图形的发现、几何性质的应用，（如等腰△BDC三线合一），而这一点在解这类问题时都要注意。xyoABHP4-2(1,-9)图2２[例2]（2005年卢湾23）已知抛物线y=x2-2x-8,若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且它的顶点为P1）求tg∠PAB的值2）如果要使∠PAB=45。，需将抛物线向上平移几个单位？[思路分析]1）由抛物线的解析式可以求出点A（-2，0）、B（4，0）、P（1

3、，-9），由点A、B、P的坐标可以求出等腰△PAB的底边长及底边上的高PH，从而求出tg∠PAB的值为3。2)设抛物线向上平移k个单位，平移后的解析式为y=x2-2x-8+k,此时AB===2（k﹤9）,PH=9-k,由△PAB是等腰直角三角形（如图2），可得AB=2PH，即2=2（9-k）,解得k1=8,k2=9(舍去)，所以需要将抛物线向上平移8个单位。【点拨】（1）抛物线上下平移时，解析式y=ax2+bx+c中a,b不变。（2）注意函数题目中几何性质的应用，将等腰直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”灵活加以应用

4、。[例3]（2006年卢湾20）在直角坐标平面内，把过原点的直线l与双曲线：y=在第一象限的交点记作A，已知A点的横坐标为11）求直线l的函数解析式2）将直线l向上平移4个单位后，直线l与x轴，y轴分别交于B、C两点，求△BOC的面积。[思路分析]将x=1代入y=，得A（1，），可求出直线l函数解析式为y=x;直线向上平移4个单位后函数解析式为y=x+4，可求出B（—8，0），C（0，4），所以△BOC的面积为BO·CO=16【点拨】直线上下平移对y而言：上加下减；左右平移对x而言：左加右减。二、函数中的图形旋转问题xyoAB图３[例4

5、]（2006年天门）如图3，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。将三角形OAB绕点O顺时针旋转30度后，点A恰好落在双曲线y=(x>0)上。1）求双曲线y=(x>0)的解析式；2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？[思路分析]1）点A按顺时针旋转30度后落在点D处，作DE垂直于OA于E,由于OA=OD=2，∠AOD=30°可求出点D的坐标（，-1）代入y=中，求出双曲线解析式为y=-（x>0）2)由于函数y=-（x>0）的图像关于y=-x对称，所以只要再按顺时针旋转30度即

6、可。【点拨】关于旋转类题目，要注意对应线段长度相等，各部分旋转角度相同。对于双曲线y=，当k>0时，其图像关于直线y=x对称，当k<0时，图像关于y=-x对称。[例5]（2003年南汇）如图4，圆O的半径为1，圆心在坐标轴原点，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，b）（b>0）。1）当b为何值时，直线AB与圆O相离？相切？相交？2）当直线AB与圆O相切时，求直线AB的解析式。xyAB(0,b)o图４[思路分析]（1）如图5，设AB与圆O相切于点C，则OC⊥AB。在Rt△AOC中，OC=1，OA=2，所以∠A=30°在Rt△AOB

7、中，tgA=所以OB=OA·tgA=2×=，所以B（0，）xyoCAB图５因此，当b=时，直线AB与⊙O相切；当b>时，直线AB与⊙O相离；当0

8、,0）、B（x2,0）（x2>x1）。1）若点P（-1，2）在抛物线y=x2-2x+m上，求m值。2）若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2-2x+m关于y轴对称，点Q1（-2，q1）、Q2（-3，q