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1、普通物理学教程《热学》（秦允豪编）习题解答第二章分子动理学理论的平衡态理论2.2.1在图2,22中列出了某量x的值的三种不同的概率分布函数的图线。试对于每一种图线求出常数A的值，使在此值下函数成为归一化函数，然后计算x和疋的平均值，在（。）的情况下还求出卜
2、的平均值。（修改：定积分需加上下限）解：（a）归一化2a(或=1)ff(x}dx=2aAx丄=1A=—(c)J2,a确定/（x）,由X—西勺―坷X2~Xl,得/(x)=呼y-yia2「12丄13]01「1213]+°—ax——xL23J一“厂匕3」3=0x2=[x1f(x)dx
3、J-d11「13丄1訂01「1314]—ax・+—X+—ax——Xa4J-aa1L34J<141仃141、412—a-—ci+一Cl一—a——a2(3434丿6a01I0(or2+X3+丄「(处2-兀3-flQ2Jo2.2.2量的概率分布函数具有形式/（Q二人不“4加2•式中人和是常数，试写出的值岀现在7.9999到8.0001范围内的概率P的近似表示式。解：先将/&）归一化，求A。8g°8)1_3jf(x)dx=jAe~ax~A7rx2dx=2£Ae~ax'A7ux2dx=2x47rAx-4^a2“捫)27tfx+Av•4龙
4、・x2Ax=P=£=f(x)Axexp(-64a)x4^*x64x0.0002x0.5注意：上式中计算f（x）时取的是积分上下限的平均值，x=&2.3.1求0°C、10pa时，1・Ocn?氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为二lm/s）解：设1.0cm3氮气中分子数为N,速率在500~501m/s之间内的分子数为由麦氏速率分布律：m1-丄_八r△N~N・4龙（一-—）2e2kt•沪.△”2兀KT2KT"AvAn_4Nv2△py•可因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V二500
5、m/s,2x8.31x?3三402m/sAV=lm/s28xlO-3V-=1.24Vp将以1、十、及8值代入计算得：△冋.86“0称个P5N5“pV105xl.0xl0-6cr"19又p=nkT=—kT,N=—==2.7xl019VkT1.38x10_23x273所以ZN=4・96X10162.3.2试求速率在区间竹〜1.01vp内的气体分子数占总分子数的比率。解：m2兀kT加2e2灯v2dv-w引入u=—,du——，有-=—e~eWvc[v'ou2du=F(u)duN7Te~iru2^u△N/、.=IF(u)du-F(w)Aw
6、N儿v-v/;,Av二O.Oy,因此vn0.01vnu=J=l,△“==0.01AN4——=^・0・01=0・83%yj7re2.3.4根据麦克斯书速率分布律,求速率倒数的平均值円=T-f(y)dv=4JOpm2W：•ooym、27ckT丿m丿2/rkTm(m2^1vI2kT)2m_4ov兀kTTtvoo2.3.5（1）、某气体在平衡温度T?时的最概然速率与它在平衡温度匚时的方均根速率相等，求Tig（2）、已知这种气体的压强为P、密度为P,试导出其方均根速率的表达式。P—mvn?为什么？2卩127E=—mv^芮=2vdv-2d£f
7、dedv=——=-de解：（1）2,m,m,mv•l2mc*2.3.6试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概然动能。它是否等于平动能在£〜£+d£区间的分子数,速率对应在v-v^dv内，即:m/、m、27ckT丿32ve2好v2dv=4龙dsV2m£他）旋（2）求最概然（可儿）动能令d£1一丄__L丄]]-£2ekT-E2—ekT=0Et)=-kT即：2kT,"2口1o2kT叶・Ep-—mv——m=kl^En(3)272m1(平动自由度贡献的能量)原因：E=r£f（£）dE=-kTDIS：由此可见Jo2*2.3
8、.7己知温度为T的混合理想气体由分子质量为％的3mol分子及由分子质量为id的v2mol分子组成。试求：（1）它们的速率分布；（2）平均速率。已知：混合气体，T,第一组份为加I,第二组份为加2,乞。求/3）、v0解：（1）设系统总分子数为N,（3，"）分子数为（4,加2）分子数为M系统中，速率在v-v+dv内的总分子数为dN,（5叫）为,（v29m2）为dN；dN_dN'dN；_N、dN、N?dN?_川册+4心帆则：~N~~N~+~tr~~N~N~+~N^~—（v}+v2）NaN—dN_qdN、v2dN2.INq+qNU+1）
9、2N(2)8好v=fvf{y)dv=——Jq+4v砂e2kTv2dv+———4龙m2、2nkT)2.3.8根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数与温度仃成反比。处于平均速率附近某一小区间内的分子数
