2018年孟老师全面剖析高一数学新课标人教版必修一必学知识教学案：3211几类不同增长

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1、【课题研究】3、2、1、1几类不同增长的函数模型【讲师】孟老师数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之谜，tl用之繁，无处不用数学，可见数学在现实生活中的应用Z广泛.而在这些应用中，由于函数描述的是两个变量Z间的依存关系，因此函数的模型起着不可替代的作用，如我们前面提到的利用指数函数来研究人口的增反，生物群落的增长以及一些元素的衰变等，那么我们学习过的函数如何应用呢？一、【学习目标】1.认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异；2.能应用函模型解决简单的实际生活中的问题

2、.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，学习新知材料一：一张纸的厚度犬约为0.01cm,一块砖的厚度大约为10cm,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式,并计算n二20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？这个题目的结果事实上是纸对折n次的厚度：/")=0.01・2"(cm),n块砖的厚度:g(n)=10h(cm),f(20)=/(20)-105m,g(20)«2m.也许大家感到意外，但是事实就是如此，那么通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解；材料二：用图象表示下列几个函数，指出

3、它们属于哪种函数模型，讨论它们的单调性，比较它们的增长差异.①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为兀，面积为y,把表示为兀的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过兀年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.那么现在我们把结论写下来：®y=x(x>0);②y=x2(x>0)；③》=(1+5%尸(兀》°)；它们的图象分别为下图：(注意：第三个图像不要x〈0的部分)它们分别属于：y=kx+b(直线型)，y=ax1+加+c(dH0)

4、(抛物线型),y=ka'+b（指数型）.从表格和图象得出它们都为增函数.并且他们在不同区间增长速度不同，随着X的增犬y二（1+5%尸的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.同学们，通过对材料的阅读，你有什么感想？这一节课是一个特殊的课，是我们理论联系实际、学以致用的一节过渡课，下面，我们通过课本上的两个例题，来讲解一下几类不同增长的函数模型.引申:除了我们材料中给出的三个函数模型外，同学们，你还能想得到其它的函数模型吗？（另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y=log“x+b,我们把它叫做对数型函数.）三、【例

5、题与巩固】【例1】：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天冋报0.4元，以后每天的冋报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？通过这个例题我们要看出一次函数、指数型函数、常数函数的增长的差异，特别的指数型函数增长比较飞速【思路】：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.【解题过程

6、】：第X天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40（xeNO进行描述；方案二可以用函数y=x（xeNJ进行描述;方案三可以用函数y=0.4-2x-!（xeN"）进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析•我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.再作出三个函数的图象由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍

7、和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1〜3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5〜8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得冋报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：1234567891O11—-4O8O12O16O20O2-4O28O32O360-400-4-401O3O

8、601OO15O21O28O36O•450550660三O.-41・22.S6>12.-425.250.81O22O<4・-4-409.2SIS.8因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二;投资8〜10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三.【学后反思】：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数