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1、课时作业提升(五十四)圆锥曲线中的证明与探索性问题A组夯实基础1.(2018-长春模拟)己知抛物线C：y2=2px(p>0)与直线x—回+4=0相切.(1)求该抛物线的方程；(2)在X轴正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线/与抛物线C交于儿3两点，使得击+由为定值.如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.得J=8/?2-32p=0,p=4,所以/=8x.(2)假设存在满足条件的点M(加,0)(加>0),直线/：x=ty+mfLy-=,设A(xifyi),Eg,力),有刃+乃=8/,yiy2=-8mfAM^=(xi-w)2+ji=(/2+1,BM^=(x2—w)2+j2=
2、(/2+l)^2,丽1十IBMT_(/2+l)屛十(/2+l妙厂1少+止1(4,+〃八7TTV75T丿■丿，当771=4时，击+由为定值，所以M(4,0)・2222.设F是椭圆C：旷+*=1(%0)的左焦点，直线/的方程为乂=—牛，直线/与x轴交于点尸，线段MN为椭圆的长轴，己知
3、MN1=8,且fM]=2
4、MF
5、.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点B,求证：ZAFM=ZBFN.(1)解：MN=&・・・a=4,又VPM=2MF,得《一a=2(a-c),V整理得2e2—3e+l=0=>e=2或e=l(舍去).Ac=2,厂一矿=12,YV・・・椭圆的标准方
6、程为花+台=1•(2)证明：当力3的斜率为0时,显然ZAFM=ZBFN=O.满足题意.当的斜率不为0时,点刊一&()),F(—2,0),设A(xifyi),3(x2,乃)，直线的方程为&代入椭圆方程整理得：(3w2+4)b—48〃?尹+144=0,则/=(48加)2—4X144(3w2+4),.48加144II7—丁1丄丁2H丄力滋尸十怨尸一兀］+2十也+2—砂1一6十砂2一61446X48/7；_2〃砂22一6©
7、+尹2)血一6)(〃少2—6)2/W>8、8-桂林模拟)在平面直角坐标系xOy^,设圆x2+y2~4x=0的圆心为0・(1)求过点卩(0,—4)且与圆0相切的直线的方程；(2)若过点卩(0,—4)且斜率为£的直线与圆0相交于不同的两点B,以04、OB为邻边做平行四边形O4CB,问是否存在常数匕使得口为矩形？请说明理由.解：(1)由题意知，圆心0坐标为(2,0),半径为2,设切线方程为：尹=也一4,所以，由
9、2£—4
10、3=2解得k=±.3所以，所求的切线方程为尹=尹~4,或兀=0.⑵假设存在满足条件的实数力，则设畑,力),3(X2,力),{y4联立［严+孑—號一。得(1+QM—(8'+4)x+16=0,3Xi+x2=8^+41+0・・・
11、/=16(2£+1F—64(1+疋)>0,・•・£>?门，f4«—8且y+力=K（X+x2）-8=]+0,：OC=OA+OB=（x[+x2f必+力），4/1-31+0
12、OC
13、2=（X[+x2）2+Ol+必）2=]畀2,又AB=2要使平行四边形Q4C3为矩形，则->980->o3、Qct=tt刊心6命’所以k=2,・••存在常数k=2,使得平行四边形O4C3为矩形.B组能力提升1.(2018-保定模拟)设椭圆x2+2/=8与y轴相交于儿B两点(力在3的上方)，直线尹=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M,N,直线y=l与交于G.(1)求椭圆的离心率；(2)求证：A,G,N三点共线.(1)解
14、：由题意得标准方程：则q=2寸工方=2,c=2,椭圆的离心率e=》=警.22(2)证明：方法一曲线〒+亍=1,当x=0时，尸±2,故力(0,2),2(0,—2),22将直线y=kx+^代入椭圆方程专+牙=1得(2*2+l)x2+16Ax+24=0,若y=kx+4与曲线C交于不同两点M,N,ca3则J=32(2^-3)>0t解得：-设N(xn,kxN+4)9肚m+4),G(xg1),由韦达定理得：翊+心=—]+2&2,①24X^x^=.I0Zx2,直线⑷的方程为：尸驾2—2,则G(圧芽1),••・/G=(&w+6‘—J，4N=(xn,hr,y+2),欲证力，G,N三点共线，只需证花，殛共线，即才
15、心+2)"柿将①②代入可得等式成立，则G,N三点共线得证.22方法二将直线y=kx+4代入椭圆方程〒+亍=1得：(2疋+1护+16也+24=0,3则/=32(2&—3)>0,解得：^>2，fyk由韦达定理得：畑+心=一]+2024设N(xn,hr.v+4),M(xm,^v/+4),G(xg1),&w+6，1丿,.“,Axw+6tMB万程为：y=~~~x-2,则GX1“&v+2则^NA~^GA=
