数值分析复习参考题

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1、1、设尢＞0,X的相对误差为■求In兀的误茅。［解］设/〉0为x的近似值，则有相对误差为＜（%）=5,绝对误差为^*（x）=Ix6：*5相对误差为e*（Inx）=(lnx)lnx*从而lnx的误差为s*(lnxx)*=

2、(lnx*)r^(x*)=2、设x的相对误差为2%,求疋的相对误差。［解］设/为x的近似值，则有相对误差为£；（兀）=2%,绝对误差为讥兀）=2%x,从而x"的误差为6**（lnx）=（%"）'.£（兀"）=2%F=2n%•X",x—x6,（nA）相对误差为＜（lnx）=；=2n%o（兀）"3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一

3、位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x；=1.1021,兀；=0.031,x；=385.6,兀；=56.430,x；=7x1.0o［解lx；=1.1021有5位有效数字;兀；=0.0031有2位有效数字；%；=385.6有4位有效数字；兀；=56.430有5位有效数字；€=7x1.0有2位有效数字。5、计算球体积耍使相对误差限为1%,问度量半径R允许的相对误差是多少?4讥毂心）［解］曲1%=£：（—兀（R丁）=----可知，一444(/?*),4中心)=1%丁(Q—/心E3”从而冷）=1%寺，故/（Hr爷^1%寺金1、令兀0=0,兀1=1,写Hiy（x）=e'x的一次插

4、值多项式厶（兀）,并估计插值余项。e()xe［解］由y0=y(兀o)=~=i，y=y(J='可知,『/、X-X)x-x0丫x—1_ix-0厶M=y()---------+x---------------=1x------+ex--------兀0—兀1兀1—尤00-11-0，=-(x-1)+e^x=1+(幺“一l)x余项为R

5、（x）='；：）（兀_兀0）（兀_坷）=冷一x（x_l）,§w（o,l）,故R（兀）<—xmaxe弋xmaxx（x-1）

6、=—xlx—=—o2o<^

7、点的三次插值多项式。［解］由插值余项定理，有人3（兀）=—f（兀一兀0）（%一兀1）（兀一兀2）（兀一兀3）=-（x+1）兀（x-1）（兀-2）=（X2-2x）（兀2-1）=^4-232X-X+2X4!x323从而厶3（兀）=f（）_Ri（兀）=兀"_（兀°-2x-x+2兀）=2x+兀2_2兀5、给定数据表：21,2,3,4,5,12467/（兀）41011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。［解］兀心）一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-31540~261176124~60111710~612180由差商表可得4次牛顿插值多项式为:^4(x)=4-3(x-l)+-

8、(x-l)(x-2)-—(x-l)(x-2)(x-4)660+加―,插值余项为1+(x—1)(兀一2)(x—4)(%180—6)f)©(x_1)(兀一2)(x-4)(x-6)(兀-7),6、如下表给定函数:i=0,1,2,3,4,01234心)36111827试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给岀它的插值多项式。［解］构造差分表：A7,A4Z03320016520211723189427+ZN4(兀0+%)=foA/o+…由并分表可得插值多项式为：_2o2=3+3t+^^-x2=3+3t+t(t-l)=t+2t+32X{}{}21、设(px=span{i,x

9、},(p2=spanx,分别在处輕上求一元索，使其为X26C［0,l］的最佳平方逼近，并比较其结果。2［解］由］ldx=l,xdx=—,^xdx=-,=—可知,23「1丄］~2a3解得f~6,即在0上为(-二，11b1r〈I6丿_23__4-1由卜甌讥甌厶201oJxdx=----10311・HFa=99x201x202«375.243201202a103103x104解得＜即在©上为11b1-98x202x203b=«-375448_202203104~~104x103-_(375.243,-375.148)。22、/（兀）=卜

10、在［-1,1］上，求在0=$”期3［解］

11、由(［卜宓=£一xdx+(xdx=1［,兀*申兀=£-xdx+f｛1,/,*｝上的最佳平方逼近。3xdx=—2215351a=-----血+卜也冷可知,222J128357_,2102222128579j_112083151052105从而最佳平方逼近多项式为°（兀）_4-----1--------X---------X2128641284、在某个低温过程中，函数y依赖于温度0（°C）的实验数据为012340.81.51.82.02己知经验公式的形式为y=a0+h0,是用最小二乘法求出a和b。［解］取0o（&）=&