数值分析考题整理

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1、1.已知矩阵[21求短阵的谱半径，条件1范数，条件2范数，条件无穷范数01],我做的是2丄3+sqr(5),3,切比雪夫多项式是T(X),问T(2x-1)的时候取值范围以及权我的计算是[0,l],l/sqr(l-(2x-l)A2)2.已知一个内积的定义Jxf(x)g(x)dx=(g,f),范围是(0,1),求x人2在[0,1]上面的一次最佳平方逼近。3.耍求高斯积分fx(1-x)f(x)dx=EAif(xi),求N=1以及N=2时的求积节点以及系数我的答案，随便猜得N=l,节点为0.5+sqr(3)/6,0.5-sqr(3)/6,系数都是1/12还是1/

2、6,记不清楚了N=2时,三个节点0.5-saq(15)/10,0.5,0.5+sqr(15)/10,三个系数1/36.1/9.1/36,不知道对不对。&单步法求证二阶相容并且绝对稳定1.(1)求f(x)=sqrt(l-xA2)在span{l,x,xA2}I：,权函数为rou=l/sqrt(l-xA2)的最佳平方逼近多项式，[・1，1](2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=fp(x)l(x)dx=fp(x)L2(x)dx,其中l(k)为Lagrange多项式2.(2)A严格对角占优,求证其有唯•的LU分解,对称矩阵[310;131;013]求其

3、cholysky分解4(l)f(x)=[x2A2-xlA2-xl其精确解为x*=[000],写出牛顿法的计算公式sin(xlA2)-x2];(2)已知G(x)=[x2A2-xlA2sin(xlA2)];给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因5.⑴线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+l)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+l)+f(n+2)),计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1,判断其稳定性1、给定2阶RK基木公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求yn+1=yn+h/2*(k1+k2)kl=f(tn,y

4、n)k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*kl)6、(1)以前试题的变形，设B奇异，证明(

5、

6、A-B

7、

8、/

9、

10、A

11、

12、)>=l/(

13、

14、iiw(A)

15、

16、

17、

18、A

19、

20、),其中

21、

22、为算子范数(2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同1.(1)求f(x)=

23、x

24、,区间[-1,1]±权函数为p(x)=l,在span{l,x2}上的最佳平方逼近3。不动点迭代F(x)=0,F(x)=[xl+x2A2等价于x=G(x),G(x)=[-x2A2・x22+x2]xlA2](a)证明D={(xl,x2)T

25、-0.25<=xl,x2<=0.25}±,G有唯一不动点(

26、b)写出newton公式，取x(0)=(l,l)T,求x(l)1.初值问题dy/dt+y=O,y(O)=1(a)tn=nh,用梯形法求数值解yn(b)h趋于0时，证明数值解收敛于准确解y=exp(-t)(c)梯形法的局部阶段误差主项(d)梯形法的绝对稳定区域5(2)B为n阶方阵,x*=Bx*+C,迭代公式x(k+l)=Bx(k)+C若

27、

28、B

29、

30、<邙<1且

31、

32、x(k)・x(k・l)

33、

34、vpi■卩)/卩证明

35、

36、x*・x(k)

37、

38、v=£填空：1A=[l,l/2;1/2,1⑶求

39、

40、A

41、

42、2和cond2(A)2Ax=b,A=[1,a,a;a,1,a;a,a,1],

43、b=[1,2,3]'(或者3,2,1，我记青了)⑴如果0<=a

44、ffl

45、

46、deltaX

47、

48、/

49、

50、x

51、

52、<=cond(A)*

53、

54、deltaB

55、

56、/

57、

58、b

59、

60、%1.线性二步法y(n+2)=y(n)+h*(fn-fh+2)fi=f(ti,yi)(1)求局部截断误差及主部，方法是儿阶收敛，和容(2)用根条件判断收敛性(3)绝对稳定域%1.A为对称止定矩阵，最大特征值和最小特征值分別是XI和Xn,迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b求w的范围，使迭代法收敛，并求诃使收敛速度最快。%1.非线性方程组F(x)=[xlA2-10*xl+x2人2+8;x1*x2A2+x1-10*x2+8]f=0令G(x)=[l/10*(

61、xlA2+x2A2+8)l/10*(xl*x2A2+xl+8)](1)若0