数值分析历届考题03

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1、数值分析历届考题03-04学年秋季学期一.简答题(毎小题5分)1.数伉计算中耍注意哪些问题。答：第一、两个相近的数应避免相减。第二、绝对值很小的数应避免作除数。第三、注意选取适当的算法减少运算次数。第四、两个绝对值相差很人的数运算吋，注意“机器零”的问题。第五、注意算法的收敛性和稳定性。2.用迭代法求解非线性方程=0吋，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法來确定初值％。答：对于非线性方程/V)=0(其迭代格式为义=士))，如果满兄：(1)当又e时，g[a,b~.(2)gXx)在O,A]上连续，且对任意的iek，6]都有

2、由迭代格式;^+i=g{xk),k=0，l，2,…产生的序列{'J收敛于即迭代收敛。可以用二分法來确定初值。3.用消元法求解线性方程组时，为什么耍选主元。答：因为川简单商斯消元法求得的近似解与精确解相差其远,其主要原因足绝对值很小的数作除数，异致了误差的快速增长。为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最人者作为主对角线元素(即主元)，计算效果将得到改善。4.矫阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。答：对于n阶可逆方阵A,正实数

3、

4、1

5、称为A的条件数,记为cond(A)。条件数对于线性方程组Ax=b的影响如下:AJrAA

6、^A)其中△叾为A精确时b产生的误差;AJAA

7、多项忒ACy）1Xf(x)一阶差商二阶差商102211-132211由牛顿插值公式：/)2O)=f{x[})+Cy—JT0)f[xQ,+Cr—又0)Cr—)/[^0,a-,,^2]=2-x+x{x-1)=x2-2%+2令t73(x)=P^x)+A(x-xQ)(x-xj(x-义2)，其巾A是待定常数，则ZH人x)=2^,-2+A{xx-x0)-x2),由G知条件/’(々)=一1，代入可得:A==1.(1-0)x(1-2)所以//:3Cy)=义2-2义+2+-1)(义一2)=?-2义2+2。其插值余项为/?（/）X、x-l)2Gv—2),其中《e(0,2)JL.A%+^II

8、II7线曲合拟求?1乘二、.d最用（保衍3位小数）。三.（20分）给出数据表X0.10.20.4().5y10.80240.61740.53023解：对于曲线丄=+A,令之=丄，t=一，得z=a+bt。yxyx把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位奋效数字）:t=l/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00对于Z=,7+bt,其法方程组为:44c?+tJ_14■/=Xz.J=141+blL、/=17=1/=1參4,c=s匕人/=1其中：4乙匕.=19.507=14工匕2=135.257=14z.=5.767=11Ytizi=24.0

9、87=1数賊入后雛方程组为

10、+19>5/7=5,76；3=1.93[19.5a+135.25b=24.08[b=-0.09951oQQQ5所以拟合曲线为一=1.93-—7x四.(15分)确定下列求积公式的系数々,，々2,么，使公式成为Guass型求积公式J'f{x、dx=AjA-Vo.6)+A2/(0)+A3/(Vo.6)。解：通过待定系数法：当/*(^)=1吋，a2=么+(1)当/•(%)=%吋，有0=-Vo.6A,+V0.6A3(2)9当/(%)=义2时，有一=0.6A,+0.6々3(3)3山此得到一个关于未知数々々2,々3的线性方程组：k'+人2+人3=2<-4o

11、^k{+Vo?6/<3=020.Qk{+0.6A3=—3k}=0.55555556解得=0.88888889。k,=0.55555556五.(20分)证明：对任意参数t(Z1)卜列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是e:^y+i=y；+thf{xiyy-）+（广一l）/?ZCv7.+2（二）,7；+/；•）。=/(、■，/;•)"hhK'则/J+1=7/+thKx+(f-1W2(1)对A；作泰勒展开得：代入到(1)式中:7?71z+l=2^v,+>;•-!)+M-证：y._J=f(x.-/?,y.-hf{xi,yj)lrK{3