2、区间［xn，£+1］上，用/（兀〉'）在左端点暫的值来代替/（x„,y（£））来代替/（%,,y）,得到y（陥）-y（£）=广f（xn，y（兀）皿=/（暫，曲“））（£+】-暫）=〃（捡，y（%））其中，力二兰二乞为步长。这样，N》（£+】）=》‘（£）+僻（£*（£））（*）可见几何图形图1.1这样，＞＜兀12歹（兀0）+妙（兀0*（兀0））=%+妙（兀0，%），其中，北=）心（））。记H二yo+E（Xo，）b），即丿（兀1）=必。y（x2）«y（£）+hf（X,y（西））=x+hf（X,x）,记y2=y{+hf{xx,必）,即y（x2）^y2.y（x3）«y（x2）4-hf{x2,y（
3、x2））«+hf（x2,y2）,记y3=y2^hf（x2,y2）,即y（x3）«y3o依次类推,我们便在（*）中用几代替y（xn）,并由77的任意性，得到f＞；+1=儿+妙K，儿）E=0,1,2,…bo=ySo）这就是欧拉公式。欧拉公式也可以直接由泰勒展开式得到，事实上y（£+】）=y（xn）+$（耳）（兀曲一£）+*〉‘"（£）（£+】—暫尸+…=y（兀）+•/（£）〃+*_/（兀）力2+…忽略高阶项，就得到y（捡+】）=丁（£）+）/（£）〃=心）+f（xn,y（xn））h再在上式中用几替代y（xn）,就得到=儿+/（£，几）这是步长相等的情形。如果不要求步长相等，那么一般情况下，有=y（
4、%）+/（£』（£））（£+】-暫）用儿替代畑,就得到儿+i=儿+/（£，儿）（£+】一®）图1・2例1•以h=OA为步长，用欧拉法求解初值问题0=y（o）=1利用这个格式来该常微分方程初值问题的数值解，并与精确解相比较，计算结果如下表:%0110」0000.90000.90940.20000.81900.83510.30000.75350.77420.40000.70040.72390.50000.65720.682
5、30.60000.62180.64760.70000.59250.61820.80000.56800.59310.90000.54720.57121.0000.52910.5518图像:4力=0」/2二0.01MATLAB程序：N二10;h=l/N;x=0;y=i;y1=(xA2+2)*exp(-x)/2;X二[x];Y=[y];Yl=[yl];disp([x,y,yl]);fork=l:Ny=y+(x*exp(・x)・y)*h;x=x+h;y1=(xA2+2)*exp(-x)/2;disp([x,y,yl]);X二[X,x];Y二[Y,刃;Yl=[Yl,yl];endplot（X,Y；rX
6、,Yl；b,）;legend（'EyOp!6a7xl/iE-14a1）;以下是欧拉格式的误差估计：误差的产生的原因：（1）计算格式本身不能准确描述原来的方程。（2）计算机本身引入的误差。（计算机在进行数据运算时总是有截断误差的问题。）因此，计算机输岀的是欧拉方程的近似解工，而不是微分方程的精确解雳一歹（£）=（氏一儿）+（儿一心））可见，为了使计算得到的解工是丿（益）很好的好的近似，我们要求：（D欧拉方法的精确解儿是微分方程精确解y（兀）的很好近似。⑵儿是yn好的近似。问题（1）称为格式的收敛性问题。问题（2）称为格式的稳定性问题。1.2.2.收敛性研究欧拉格式收敛的定义：若时，xn=x0+n
7、hx时，儿Ty（x）。局部截断误差：en+l=y（xn+］）-yn+i9其中，y：+i=）5+J-卜（兀）+/（£‘y（^n））h］整体截断误差：=y（£+J-儿+i=y（G+广/（兀刃必-［儿+〃（£,〉;）］。Jxn定理1.1假定y=y（x）eC2（［x^X］）f则欧拉方法的局部截断误差满足en<—Mh2,其中，力为步长，M=max
8、）/（兀）。2证明：s=y（兀“+1）一Z+i=心）+y'（
