选择理论中两个结论的改进

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1、第18卷第1期数学研究与评论Vol.18No.11998年2月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONFeb.1998X选择理论中两个结论的改进燕　鹏　飞(安徽大学数学系,合肥230039)摘　要　本文利用可数序基的概念,讨论了下半连续集值映射的选择问题,改进了选择理论中的两个经典结论.关键词　连续选择,可数序基.分类号　AMS(1991)54CöCCLO1891　引　言本文主要考虑取值于具有可数序基的空间内集值映射的选择问题,我们首先给出有关的概念和表示.设X,Y为拓扑空间,则X2={E:E是X是非空子集};F

2、(X)={E:E是X的非空闭子集};C(X)={E:E是X的非空紧子集}.[1]Y定义1集值映射U:X→2称为下半连续(上半连续)的,如果对Y的每个开集V,21U(V)={x:U(x)∩V≠Á}(集合{x:U(x)

3、l.s.c的,则U存在连续选择.[2]定理112设X是仿紧空间,Y是完备度量空间,5:X→F(Y)为l.s.c的,则存在一个l.s.c集值映射U:X→C(Y)和u.s.c集值映射W:X→C(Y)使得任意x∈X,U(x)

4、1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.论.[3]定义2设X为拓扑空间,若X的一个基B满足条件:B的任何含有p的由不同元素所构成的序列B1=B2⋯=Bn⋯形成p点的邻域基,则称B为X的一个可数序基.Wick和Worrel给出了具有可数序基的空间的一个有用的刻画.[4]定理113空间X具有可数序基当且仅当它存在序列{Bn}满足(a)　每个Bn是X的一个基;(b)　如果对每个n≥1有Bn∈Bn且BnBBn+1,点p∈∩Bn,则{Bn,n≥1}是p点的n∈N基.本文所讨论空间均指

5、正则T2空间.2　关于选择的定理引理211设X是零维仿紧空间,Y为具有可数序基的空间,U:X→F(Y)是l.s.c的,则存在:n(1)Y的满足条件(a),(b)的基的序列Bn={VAûA∈An},n=1,2⋯;n(2)X的离散开覆盖列Un={UAûA∈An},n=1,2⋯;(3)　映射列Pn:An+1→An,n=1,2⋯.满足条件:nn+121UA=∪{UBûB∈Pn(A)};nn+121VA=∪{VBûB∈Pn(A)};n21nUA

6、13条件的序列{Bn},设Bn={WAûA21′[6]∈∧n},则U(B1)构成X的一个开覆盖,由著名的Dowker-Morita定理知,它存在一个离111′散的一一开加细U1,不妨设U1={UAûA∈∧1},令A1=∧1,VA=WA,B1=B1.则U1,B11111即为所求.由于Ua=X2UUB,故UA为X的即开又闭集,因而dim(UA)≤0,对于每个A∈A1,B≠A2{211221作vA={WBûB∈∧2且WB

7、〈A,B〉,U〈A,B〉

8、nn-1nnvn+1nPn(An+1)=An.由于UA