导数应用中的两个重要结论

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1、WWw．zhongshuc'a11lC0nl中学数学教学参考贺建勋段雄伟(陕西省榆林市靖边中学)自2004年高中课程改革以来，以导数为工具讨增，[_厂(z)]⋯一f(0)一0，所以对于任意的z≥0，论函数的单调性、求函数的极值和最值、存在性问题厂(z)≥[-厂(z)]⋯一。成立。的探究、恒成立问题的解决、不等式的证明等成为高(2)当a>l时，由f()一0得—In口，当E考试题的重点和热点。这类题目综合性强，难度很(0，ln口)时，厂(z)<0，厂(z)在(0，Inn)上递减，因此大，对数学思想方法的要求较高，考查学生综合运用当zE(O，In口)时，厂(z)<厂(0)=：=0，不满足题意。

2、数学知识分析问题和解决问题的能力。解决这类问综上可知，a的取值范围是(一CXD，1]。题经常会涉及两个结论，利用这两个结论可以起到化推论3对于任意的z≥O，e≥口(+1)∞口≤1。繁为简的作用，本文主要介绍这两个结论及其应用。(证明略)结论2对于任意的z>0，inz≤z一1。(当且1两个重要结论及其推论仅当-z一1时等号成立)(证明略)结论1对于任意的．z∈R，e≥32-4-1。(当且仅其几何意义如图2所示，y-1／当z一0时等号成立)直线—z一1是曲线y—inLz／证明：设厂(z)一e一-z一1，则f()一e一1。在点(1，0)处的切线，函数y0i由f(z)一0得z一0。—inz的图像

3、位于其点(1，0)／当zE(一。。，0)时，f(z)<0，厂(z)在(一oo，0)处切线—z一1的下方。上递减；推论1对于任意的z>图2当zE(0，+。。)时，厂(z)>0，厂(z)在(0，+oo)0，Inz≤z+a口≥一1。(证明略)上递增。推论2对于任意的>O，In≤口一1∞口≥1。故[，()]⋯一厂(0)===0，(证明略)所以对于任意的XER都有厂(z)≥[厂()]一推论3对于任意的≥1，InX≤口(z一1)甘a0，即e≥z+1。≥1。其几何意义如图1所示，直y／ye证明：对于任意的z≥1，Inz≤n(z一1)∞lnz—线Y—X+1是曲线y—e在点}／nz—n≤0(z≥1)。+1

4、(0，1)处的切线，函数y==：e的图设-厂(z)一Inx-axJi-a，则f(z)一一1一口。像位于其点(0，1)处切线y一-z+／o(1)当a≥1时，对于任意的z≥1，f(z)≤0，1的上方。图1厂(z)在[1，+。。)上递减，推论1对于任意的zER，所以-厂(z)≤-厂(1)一0，即Inz-aX+≤0(z≥1)e≥+口甘口≤1。(证明略)成立。推论2对于任意的z≥0，e≥＆+1甘口≤1。(2)当o<＆<1时，由(Iz)一0得—I，／()证明：设厂()一e一口z一1，则f(z)一e-a，对于任意的z≥0，e≥n+1-厂()>7o。(1)当n≤1时，f(z)≥O，-厂()在[0，+。。

5、)上递在(1，丢)上递增，当∈(1，)时，-厂(z)>厂(1)一0，中学数学教学参考，WWzt／ongshtical《《，In2015年第4期(I--旬)即In≥a(—1)，不满足题意。(1I)若当z≥0时-厂()≥O，求a的取值范围。(3)当＆≤0时，f(z)>O，-厂()在[1，+。。)上递解：(I)略。增，所以厂(z)≥-厂(1)一0，不满足题意。(Ⅱ)f(z)===e一2“一1，由结论l的推论2知，综上所述，对于任意的z≥1，in≤a(一1)甘n对任意的z≥0，e一2nz一1≥0甘2n≤1。≥1。(i)当2a≤1，即n≤÷时，e≥2ax+1，即2两个结论及其推论的应用f(z)一e

6、一2nz一1≥0，_厂()在[0，+CxC))上递增，又例1(2013年高考数学陕西卷文科第21题)已厂(0)===o。因此当口≤÷时，厂()≥0成立。知函数_厂(z)一e，∈R。(I)略。(ii)当n>÷时，由e≥-，+1可得一z≤e—l。(1I)证明：曲线y一厂()与曲线Y一寺z++1所以f(z)=e一1—2ax≤e一1+2a(e⋯一1)一e一(e一1)(e一2a)。有唯一公共点。故当z∈(0，In2a)时，厂()<0，f(Iz)在(0，(I]I)设。<6，比较厂(、)与D—n的大in2a)上递减，-厂()<-厂(O)===0，不满足题意。小，并说明理由。综上可得，n的取值范围是(一

7、CXD，丢]。解：(1I)证明：设g(z)一e一÷一一1，则曲注解：当n>去时，2a>1，由结论1的几何意义线Y一，(z)与曲线一÷+z+1有唯一公共点等知，直线一2nz+1与曲线—e相交，一交点为(0，1)，设另一交点为P，其横坐标VV=ax—价于函数g()有唯一的零点，则g(z)一e一一1。p为32。。如图3所示，当z∈(0，由结论1知，对于任意的∈R，g(z)≥0，所以g()一、．在R上单调递增，又g(0)一0，因此g(z)在