《高中数学联招》3-3克拉瑪公式

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1、§3-3克拉玛公式(甲)二元一次联立方程组⑴解二元一次方程组：+=q…(?，其中心是未知数,［a2x^b2y=c2…⑵我们使用代入消去法解之(1)x/?2~(2)x/?i^>(aib^a^b)x=(cib^c^b)(1)x°2—(2)x°i=>(a2b]-a]h2)y=(C]a2-C2a])=>可得y其中△二方程组恰有一解(心)=(a2b2牛，牛)［两直线交于一点］当A=A.V=AV=O,方程组有无限多解。［两直线重合］当△=(),而△*、有一不为0吋，方程组无解。［两直线平行］［例題1］试就a值讨论亍一⑺一亍=Q+5的解。［(3-a)x+2y=/

2、-a11］Ans：若且狞5,则g)=(q_5，口一、)；若则(兀丿)=(3-/』)，足R若°二5,则无解。(練習1)就£值讨论方程式的解:(k-2)x-2y=2k3兀+(2£+l)y二一£一233Ans：当31,㊁时，恰有一组解，当k=时"，有无限多组解，当k=㊁时,无解。(乙)三元一次联立方程组(1)推导克拉玛公式：兀++C]Z=£…⑴考虑三元一次方程组va2x+b2y+c2z=d2…(2),其中x.y,z为未知数,a3x+b3y+c3z=t/3•••(3)使用代入消去法解之：由(1)^>by+cz=-a]X+d,由(2)n方2y+c2Z=-

3、d2x+〃2曲二元一次方程组之求解可知b2c2>,=—%兀+£-a2x--d2bb22-bb2—+£-a2x--d2整理口J得b2b2qC2y=z-将⑶Xa2°2qC2bb2X-dd2£d2q$bb2(5)bb2b2qC2S5b2c2(4)(5)代入(6),消去y,zbcxQ3b20X+Z?3J+C3b2bb2X+Z?3(-£d2整理z后得bC]Th2C2观察(7)式，等号左端兀的系数中,(。3子,b2_/?3%a2+C3_/?3dd2a2bh2b2£d2b2)+C3()兀=〃3%a2bb2_/?3X-£d2£d2%b2)=

4、5b2+C3d}b、d2h2h2C2将a1卫2,。3分别换成dl,〃2,〃3及成为右端的式bb2bqd}b、q因此(7)可改写成a2b2x=d2b2c2Cl3E°3£Sc3b2b3d]b、C

5、心bqcit£C]atb{d}同理若令4=a2b2c2，△大二d2b2c2,Ay—a2d2c2，a2=a2b2d2a3“3C3dy*C3a3“3C3a3b.d飞则口」得“•y=Av△•z=△二结论：(a)若AHO,则方程组恰有一解：(^AA)o［克拉玛公式］AAA(b)若A=Av=Av=Az=0,则方程组无解或无限多解。(c)若△=(),Av>△、.、△二有

6、一不为0,则方程组无解。(2)联立方程组解的几何解释：4］兀+勺歹+C［Z=d］…⑴三元一次方程组a2x+b2y^-c2z=d2--⑵，我们将三个方程式视为空间屮的三a3x^b3y^c3z=d3••-(3)平面，因此我们可以讨论三个平面的相交情形与解的关联。设百=(01010)、爲=(。2上2心)、石=(。3上3疋3)(a)A=A=a2a34a2a3bb2b3bb2b,qC2的解释:“2C2byc3-bb2b2c2伏C3-n•(/?2x^3)b2c2a'EC3a2b2a3b3+6a2h2ayby=>A=a$b2qC2=HSx%)8（1。）

7、当A=0o亦•（云x亦）=0若n；xn；=d，则表示啟右,此时E2与E3互相平行或重合。E

8、=E2=E3(△二△二△二△.=()，无限多解)E1//E2二E3(4=Z=△=△_=()尢解)山〉乙aylEl与E2（E3）交于一直线（A=Aa-Av=A2=0,无限多解）E1//E2//E3(A=Ax=Ay=Az=0,无解)E］与E2、E3相交成两并行线（A=0,△兀、0、心冇一不为0,无解）E、E2（日rT占5仏"3洁（討3）、E3两两交于，△/、△〉，、、z有（2。）当△工0u>7iJ-（7^Xn3.所以E2与E3交于一J不垂宜，所以L皿（MCM'所

9、以集方平而交于一直线（A=Av=Ay=A2=O,干一直线，三宜线互相平行-不为0,无解）右）却o云x石H花且’■直线L,且其方向向量为.与E]交丁•一点。、E3三平面交于一点（A^o,恰有一解）£]:厲兀+处+卒=0E、E2（3）齐次方程组:

10、y-6z=7、3x+6y+z=5(x+y+2z=2<2x+y+z=2、x+2y+5z=2［例題