微积分教学资料——重积分

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1、二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分一、二重积分的概念定义：设D是：XOy平面上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线(一般指D的可求面积)，f(x,y)为定义在D上的函数，用光滑的曲线网把D分成n个小区域：……,△/”，以表示的面积，这些小区域构成D的一个分割T,以入表示的直径，记T的细度为IITII=MaxXi,在每一个上任取一点(乙,久)，作和式：£/(乙，7)46，称之为函数f(x，y)在D上属于分割T的一个积分和。1=1■如果当IITII->0时，该积分和的极限存在，

2、就称此极限值为f(x,y)在区域D上的N二重积分，记作：B

3、J：jf/(x,y)d(y=limX/(^.,ril)Ac77*D/)IKIH0/=!其屮f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d(7称为积分表达式，do■称为面积元素，x,y称为积分变量，D称为积分区域。1由定义知，若f(X,y)在D上可积，应对于任何分割T,及任意的点(乙，7)eA(7,.±面的极限都存在，为此我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割D,则每一个小区域Act.的面积为△q=AxQy,,进而有do=dxdy,故：Jj/(

4、x,y)d(y=JJf(x,y)dxdy兀,y为有理数为其他DD2、并非任一函数f(x,y)在区域D上的积分都存在，如/(x,y)=在L0,1；0,1J上的重积分不存在，但当f(x,y)连续时，其二重积分存D在，故以而在不加说明的情况下，总认为f(x,y)在D上的重积分是存在的。3、如果f(x,y)30,\f(x,y)d(y在几何上就表示曲顶柱体的体积，当f(x,y)=1,D的值就等于积分区域D的面积。如果f(x,y)W0,柱体就在XOy平面的下D方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负

5、的。如果f(x,y)在D上的某n个子区域上是正的，而在英它地方是负的，这吋的二重积分的值是下面的性质3。二、二重积分的性质性质1、被积函数的常数因子可提到二重积分号的外面：ikf（xy）cl（y=k\f（xy）d（yDD性质2、函数的和（差）的二重积分等于各函数的二重积分的和（差）。JJ[/（兀y）±g（兀，刃]加7=JJ/（x,y）da±JJg（x,y）dQDDD性质3、若D=D^D2U--U£>w,A，那么片（5"別心w性质4、当f(x,y)二1时，Uf(x.y)d(J=\d(J=D的面

6、积DD性质5、如果在D上，有f(x,y)Wg(x,y)则有jf/(x,y)da

7、入手，利用计算“平行截面面积为己知的立体的体积”方法，二重分化为二次积分：模型I:设有界闭区域D={(x,y)a上连续，则h©(X)fJ/(X,y)d(y=jj/(x,y)dxdy=^dxJ/(x,y)dyDDa©(X)模型II:设有界闭区域D={(x,y)c

8、干子区域，使每一个子区域为X—型或Y—型。2、介绍“对称性”在二重积分计算屮的应用。利用极坐标计算二重积分1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。3、确定积分上下限的办法。在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定&对丫进行积分，然后再对0进行积分，由于区域D的不同类型，也有儿种常用的模型。模型I设有界闭区域人D={(^0)a<&W0,%⑹

9、}其中价(&),0(&)在［&,0］上连续,f(x,y)=/(/cos0,/sin0)在D上连续。模型II设有界闭区域d=o上连续。典型例题例1•计算jje~y'dxdy，其中£>由y=兀，y=l和y轴所围区域D例2计算jj>/

10、y-x2dxdykl<2D.宀心4•(x+l)2+/>l例4计算二重积分I=JJr2sin&Jl_Fcos2&d/W&D其中D=

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