物理奥赛辅导第7讲_振动与波动

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1、第7讲振动与波动一、知识点击i・简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x,fl其所受合力F满足F二一也仗＞0）,故得。=一则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。⑵简谐运动的能虽：一个弹簧振了的能虽由振了的动能和弹簧的弹性势能构成，即⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力D=那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期T=—=2兀」_,式中m是振动物体的质量。⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和k都相同，则弹簧振子的振动周期T就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。多振子系统：如果在一个振动系统

2、中冇不止一个振了，那么我们一般要找振动系统的等效质量。悬点不固定的弹簧振了：如果弹簧振了是冇加速度的，那么在研究振了的运动时应加上惯性力.⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于5°时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为T=2龙£,在一些“异型单摆”中，/和g的含义及值会发生变化。（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是3,振幅分别为A1和A2,初相分别为％和輕，则它们的运动学方程分别为兀］二4COS（劲+（p）x2=A2cos（血+0）因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移无仍应在同一直线上，而H.等于这两个分振动

3、位移的代数和，即x=+兀2由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为兀=Acos（er+0）这表明，合振动仍是简谐振动，它的鬪频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为A=丁番+念+2A4cos@-％）合振动的初相满足tancp=恥"+心叱£cos职+A2cos（p22.机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为y=Acosot,波的X传播速度为"，那么在离振源X远处一个质点的振动方程便是y=Acos，在此方_v_程中有两个口变量：t和X,当t不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当X不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程.（2）

4、简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。如果一列简谐波在。-力，平面内，以波速u沿必轴正方向传播，振源（设其位于坐标原点）的振动方程为y=Acos（M+°）,由于波是振动状态的传播，故知坐标原点X的振动状态传播到离振源x（x>0）处要滞后4=—的时间。这表明若朋标原点振动了t吋间,UX处的质点只振动了！-心的时间，于是X处振动质点的位移可表为Xy=Acosco(t——)+0u显然，上式适川于表述ox轴上所有质点的振动，它就是平面简谐波的波两数，也常称为平而简谐波的波动方程。X同理，如呆简谐波沿0X轴负方向传播，则波函数为y=Aco

5、sCO{t+-）+（pux为了加深对波函数物理含义的理解，下而以歹=/135加-一）+0为例做一讨论。U。它表示的是坐标为兀0的质点①当x=x0吋（好似用摄像机对着处标为X。这一质点进行拍摄），则=Acos曲+(0—y=Acos69（r-—）+^9在不同时刻的位移，即该处质点的振动方程。XACOS69(/()——)+0=U②当t=5时（好似用照相机对一组质点在5时刻进行照相），则Acos（°+网））。它表刀£在给定的/（）时刻各质点U的位移分布情况，相应的图像称为(0时刻的波形图。2.波的干涉和多普勒效应⑴波的叠加：几列波在同一介质屮传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将

6、保持各白原有的频率、波长和传播方向，并不相互T•扰.波的这种性质叫做波的独立性.因此在儿列波重叠的区域内，每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的.故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和.这种现象称为波的叠加.⑵波的干涉：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉。⑶多普勒效应：当声源和观察者之间存在相对运动时，会发生收听频率和声源频率不一致的现象.该种现象神

7、称为多普勒效应.为了简单，这里仅讨论波源或观察者的运动方向为波的传播方向共线的惜况.设波速为％,波的频率为f,接收到的频率为厂(a)观察者以速度u向波源运动：f=5•(c)波源和观察者都运动:(b)波源以速度V向观察者运动:二、方法演练类型一、根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型，求振动周期是振动问题的一V种基本类型，解题中要注意简谐振动的动力学特征F=-kx或Q二-工兀的形式，从中得出有m关等效量。例1・一简谐运动的系统如图7—1所示，不计一切摩擦，绳不町伸长,m】、口2及弹簧的劲度系数k已知求g上下振动的周期。分析和