学习指导第4章

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1、第4章函数的积分一、主要内容与基本要求（一）内容提要（二）基本要求二、知识结构框图三、知识点概述与疑难解析（一）知识点概述（二）疑难解析四、典型例题五、习题解答第4章函数的积分一、主要内容与基本要求（一）内容提要1.定积分的概念与性质，积分匕限的函数的概念及其导数.2.函数的原函数与不定积分的概念，不定积分的基木性质.3.牛顿一莱布尼茨公式，基木积分公式.4.不定积分的笫一换元法与笫二换元法，定积分的换元法.5.不定积分的分部积分法，定积分的分部积分法.6.儿种特殊类型两数的积分。7.广义积分的概念与计算.（二）基

2、本要求1.理解原函数、不定积分和定积分的概念和性质。2.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿莱布尼兹公式。3.熟练掌握不定积分的棊本公式、不定积分和定积分的换元法和分部积分法。4.会求简单冇理函数、简单的三角函数冇理式及简单无理函数的积分。5.了解广义积分的概念，会判断一些简单的广义积分的敛散性。重点：理解原函数、不定积分和定积分的概念和性质.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式.熟练掌握不定积分的基本公式、不定积分和定积分的换元法和分部积分法难点：熟练运川牛顿-莱布尼兹公式二、知识结构框图元函数的积分

3、三.知识点概述与疑难解析(一)知识点概述1•定积分的概念与性质，几何与物理意义a:定积分的概念(叙述略，见教材)函数/(x)在区间［d,〃］上的定积分是一种特殊乘积和的极限，即/(x)ck=lim£/(GAx,2=max{Ar.}.1GG此外，必须注意以下几点：◊定积分是一•个确定的数，它只依赖于被积两数和积分区间［a,b］,而与积分变量所选取的字母无关，即£/(x)dA：=£/(r)dr。◊规定：交换定积分的上下限，定积分变号，即二-［/(兀)dx。特别地，当a=b时，有J/(x)cLx=0o◊可积性：(1)若/

4、(X)在［a,b］±连续，则f(x)nJ'积。(2)若/(Q在［a,b］上有界且有有限个第一类间断点，则/(对可积。b:定积分的性质(以下总假定所涉及的定积分存在).和与差法则：『”(兀)◊常数倍法则：^kf(x)dx=k^f(x)dx(其中R为常数)。±g(x)］dx=^f(x)dx±这一结论可以推广到有限多个函数的情形.◊积分区间的可加性：pWcLv={/(x)dx+f/(兀)dx。◊保序性:若在［a,b］±,f(x)0时，有£/(x)dx>0(6/

5、

6、£/(x)dx<£

7、/(x)

8、ck(a0,(了⑴山表示连续曲线y=/(x),%轴以及直线兀二0和x=b{a0)作直线运动的物体在时间段［匚笃］内所经过的路程。2.原函数、积分上限的

9、函数、牛顿-莱布尼茨公式a:原函数：若区间/上的函数F(x)与/(x)满足Ff(x)=f(x)或dF(x)=f(x)ck,则称函数F(x)为函数f(x)在区间/上的一个原函数.◊原函数存在定理：区间/上的连续函数在/上一定有原函数。◊若F(x)和G⑴都是f(x)在区间/上的原函数，则存在常数C(),使得F(x)=G(x)+Coob:积分上限的函数：如果函数/(兀)在区间［a,b］上连续，则称函数①⑴=［f(Odt为积分上限的函数，函数/(兀)的积分上限函数①(兀)是函数/(兀)的-个原函数，即有①'(X)=f(x)

10、,xg(a,b)・利用复合函数的求导法则，可进一步推出下列公式：◊£f/(°dr=■£ffw=°◊-rCf⑴曲=/［0⑴］0(兀)。dx①◊T"『=/I©⑴］0(兀)-f［i//(x)］y/Xx)。dxQ(x)C：牛顿一莱布尼茨公式设函数于(兀)在区间6上连续，函数F(x)是函数/(兀)在区间[d,切上的一个原函数，则[fMdx=F(b)-F(a).2.不定积分的概念与性质、基本积分公式a:不定积分的定义函数/(%)的不定积分是/(%)的全部原函数，即J/(x)ck=F(x)+Cob:不定积分性质.◊(p(x)dr

11、j=f(x)或dj/(x)dx=/(x)dr,Jr(x)dx=/(x)+C或fd/(x)=/(%)+Co◊±/%(x)]dr=a^f(x)dx±/?J^(x)c1y,其屮a,0为常数。c:基本积分公式(1)kdx=kx+C伙是常数);+C(aH—1)；⑶ln

12、x

13、+C;(5)exdx=『+C;sinxdr=-cosx+C;(7)cosxdx=sinx+C;