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1、高数上册复习考试2009年12月15H第一章函数与极限一、函数认识一些常用函数和初等函2・求函数的自然定义域。1.极限的计算二、极限(1)善丁恒等化简和极限的四则运算法则(2)常用的计算方法(a)常用极限lim-HT80,limqn=0(qv1),limy/n=1,lim换=1(°>0),lim1/(")"T8>8f(n)(/(n)Tx),lim[l+g(n)]g(n)=e(g(n)T0),lim7?T8sin/(/?)/(〃)(b)一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n的最高次幕。例如:2z?
2、+4/?+7a?n6+6/15-n32+心+7厶nnAa~~r~1+6-nn2n4+4/?3+ln2n6+6n5一ft'+4丄+7乙1+6nnVh2+3/?+Vh+2Vn4+5«3h{n)(小一冷g(n)(ii)根号差的消除。例如：J/O)一Jg(〃)+(J/02))YygS)『+(J/0)HMgOi))3+J/S)(MgS))4(i)指数函数的极限。linu心)怛(mu(n)>0,limv(/2)都存在)。n—>8brT8/；—>00/?—>00(ii)利用指数函数的极限。当lim/(«)=1
3、时,]]【/(n)T]g(")+/(h)-1]7(«h[川―>8=lim[l4-f(n)-1]"—>8HT8lim[/(/?)-l]g(n)GE(iii)转化为函数的极限可以用洛必达法则。lim/(7i)二limf(x)"T8XT+8(Vi)利用两边夹原理。把/(n)分别缩小、扩大一点点得简单的g(n)>h(n),g(n)8h—>«>/?—>«>(a)当X”用递归式给出时(i)用数学归纳法证明{占}是单
4、调有界的，从而lim乙二A存在;HT8(ii)对乙的递归式两边取极限得关于A的方程，再解出A。(b)记得一些等价关系当limf(ri)=0时,HT8sin/(/?)〜f(n)，tanf(n)〜/(n)，arcsinf(n)〜/(n)，arctanf(n)〜f(n)1—cosf(n)〜舟[/(〃)『，[1+/(n)p〜a[f(n)],ef{n}-1〜f(n),ln[l+/(;?)]~/(n)(1)函数极限的计算(a)(2)中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。(b)如果已知/(兀)在X。点连续
5、，贝I]limf(x)=f(xQ)oXT%(c)记得一些等价关系。(lim表示六种极限之一)当limf(x)=0时，sin/(x)〜/(%),tanf(x)〜/(x),arcsin/(x)〜/(x),arctan/(x)〜/(%)1—cosf(x)〜[/(x)]2,[1+/(x)P〜a[f(x)],ef(x)-1〜fx),ln[l+/(x)]~/(x)(d)(lim表示六种极限之一)当lim/(x)=l时,I..(1〕[/(^)-iku)lim[/(x)]gU)=lim[l+f(兀)一1]7乔1
6、〔八心皿)=1冰[1+/(兀)-1]吋丨(e)利用两边夹原理。把/⑴分别缩小、扩大一点点得简单的g⑴、加兀)，g(x)
7、o°、r>&型的不定式。gOOlim/(x)g(r)=hmesMlnM=^,img(x),n/(x)=e—=e(iv)对于8—8型的不定式，先计算成一个式子再计算。(g)女口果=cH0,贝ljlimg(x)=0«limf(x)=0□gMg(x)2・极限的证明(1)证明limf(n)=A的格式幵一>8证.Vr>0,(打草稿从不等式
8、/(/7)一A
9、v£解出心N®(必要吋将
10、/(〃)-A
11、放大一点点得一个简单的g(/i)>
12、/(n)-A
13、,再从g(n)v£解岀斤>N(£)))(*)取N=N(e)o当n
14、>N吋，(由n>N正确推lB
15、/(n)-A
16、<(一般是(*)的倒推))故lim/(n)=Ao〃T8证明lim/(x)=A的格式XT%证.V£>o,(打草稿从不等式
17、/(x)-A
18、v£解lB
19、x-x0
20、<》(£)(必要时将f(x)-A放大一点、点得一个简单的g(x)>
21、/(x)-A
22、,再从g(x)23、x-x0
24、
25、V5时，(由
26、x-x0
27、<8正确推lB
28、/(x)-A
29、<£(一般是(*)的倒推))故lim/(x)=AoXT•切(
