教案高教版（数学）第二册——74平面向量分解定理(中职教育)

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1、年而向量今解更鰹教学目标1、理解和掌握平面向量的分解定理；2、掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向最来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3、经历从物理学中力得分解到数学平而向量分解定理的探求、概括过程；4、经历平而向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽彖概括能力、体会化归思想。教学重点及难点1、了解平而向量分解定理的形成过程；会用平而向量分解定理解决一些简单问题；2、定理中向量关于积的线性表示的唯一性和对定理中的“任一向量”都成立的理解。教学过程一、设置情景，引入课题(1)观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过來，一个向量是否可以分解成两个向量呢

2、？下面让我们來看一个实例：实例：-•盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以山电线OA和绳B0拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2。思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向最。(1)复习正交分解，并抽彖为数学模型二、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量石，&是同一平面内的两个不平行的向最，：是该平面内的一个非零向量，是否能用向量石，瓦表示向量：？->©1数学实验1实验设计：(1)实验冃的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量石，瓦,对于给定的非零向量方是否能分解成石，&方向上的两个向量，且分

3、解是否是唯一的？(2)实验步骤：A、以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上而有两个不平行向量石，&和方；B、每个同学先独立作图；C、小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否和同.并得出结论。⑶实验报告：(ill学牛•发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的。师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把d和d,勺的关系表示出来?生：石，&是不平行向量，方是平面内给定的向量，在平面内任取一点0(1)作°A=q,OB=e2.oc二a.(2)过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；(3)过C作平行于直线OA的平行线与直线0B相交于点N；->->->3=入活1+入2。2・平行的

4、充耍条件可知存在实数易使得0M=^},0N=^,则(4)四边形ONCM为平行四边形，由向量OC—a—OM+ON=人弓+易勺°对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量方是否也可以得到同样的结论呢？卜-面让我们来做一个实验。数学实验2实验设计：(1)实验口的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的。(2)实验步骤：A、利用儿何画板画出两个不平行向量石，石，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；B、学生从拖动中体会其向量的任意性。(一些特殊位置°,°J,。勺)(3)实验报告:3.探究结果几何角度：

5、平而内的任一向量方都可以表示为给定的两个不平行向量玄，&的线性组合，即°=也+心2，且分解是唯一的。代数角度：说明唯一性：说明：(1)当q=o时，6=0・彳+0•云（2）当a^O时，假设°二人O+人勺，则有一一4'一21el+2^2_入01+人勺（人一入）心+（入一人）纟=0.由于勺“2不平行，故（人一入）=°，（兄2-人）=°,即e19e4.概括得出定理:平面向量分解定理：如果弓，◎是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量方，有且只有一对实数人,人，使方=&石+易石。我们把不平行的向量石，&叫做这一平而内所有向量的一组基。注意：（1）基底不共线；（2）将任一•向量方在

6、给出基底石、&的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，入，易是被：，石，&唯一确定的数量三、例题分析例1（如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且AB=a,AD=bt分别用方,厶表示MA.MB.MC和MD.解：在平行四边形ABCD中,VAC=AB+AD=a+bXVDB=AB一AD=a-hMA=—AC=——(a+b)=——a—b2222:.MB=-DB=-(2-b)=丄a--b2222'•I■1一■■I'•I-*J.一MC=-AC=-^,MD=-MB=--DB=--a+-b注：（1）把作为一组基，用向量a/表示平面内的任何一个向量（2）平行四边形法则简化为三角形法则。思

7、考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD屮还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？思考题：已知刃，勿是不平行的两个向量，£是实数，且AP=kAB(keR)f用刃，亦表示刁。解：•:AP=kAB.OP=OA+AP=OA+kAB=OA+k(OB-OA)=OA^kOB-kOA=(-k)OA+kOB(四)、课堂小结：(1)平面向量的分解定理.对分解定理的理解：基底才，&为两个不平行向量，向量：的任意性，实数对人，希的