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1、问题的提出及分析下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩，要求:1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排出名次的结果.2）把算法推广到任意N个队的情况.3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次.对下表的说明：1）12支球队依次记作Tl,T2,…，T12.2）符号X表示两队未曾比赛.3）数字表示两队比赛的结果，如T3行与T8行交叉的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数Z比为0：1和3：1.T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10TilT12T10：12：22：0
2、3：11：00：10：21：01：1X1：01：03：11：32：14：01：1XX0：00：21：0T22：00：01：12：11：10：02：00：2X0：12：01：10：01：10：0XX1：30：0T34：22：13：01：00：11：00：1X1：11：43：12：32：0XX0：0T42：30：10：52：10：10：1X2：31：30：01：1XXT50：11：00：1XXXXX1:21:1T6XXXXXXT71：02：13：13：12：0X2：03：03：00：01：02：2T80：11：13：10：0X1：21：02：00：1T9
3、3：0X1：01：01：00：0T101：02：0XTil1：1X1：2T121：1X木题的表1给出的是我国12支足球队在1988-1989年全国甲级联赛屮的成绩，要求通过建立数学模型,对各队进行排名次.按照通常的理解，排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序.为达到这一点，一个好的排名算法应满足下而一些基本要求：(1)保序性；(2)稳定性；(3)能够处理不同场比赛的权重；(4)能够判断成绩表的可约性；(5)能够准确地进行补残；(6)容忍不一致现象；(7)对数据可依赖程度给出较为精确的描述.可以想象,各队的真实实力水平在成绩表中反映
4、出來(见§3假定II),所以根据排名目的,我们耍求排名顺序与成绩表反映的各队实力水平的顺序是一致的,这就是要求(1).也就是说，如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面•但a比b出色不能只是曲a对b这一场比赛所决定，必须参考a,b相对于其他队的成绩，像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的.为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所冇场比赛•下而的例子表明积分法布满足保序性.例1a平c,c胜d,d平b,a平b.在上述比赛中a表现应比b出色，但按积分法计算a,b都积2分.其原因就在于积分法没有把3平c,c胜d,d
5、平b这组比赛中所体现的a,b实力对比情况考虑进去；要求(2)就是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响.这是由于球队发挥水平存在正常波动而必须提供的，如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化，那么排名就不令人信服；要求(3)使得不同场比赛在排名中的地位不同，这是因为在实际比赛中，往往会冇的队不幸遇到较强的队而输掉•为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平，要求(3)是必须的.但现在的排名制度大都满足不了要求(3),以至于许多吋候“运气”对名次起了重要作用；要求(4)—(7)是为了适应实际比赛中口J能会出现在一些复杂情况而提出的.首先是可能某两个队Z间
6、没冇打比赛，我们称Z为数据(成绩)残缺.对于两队成绩残缺，只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力比较.如果残缺元素过多，就有可能导致参赛队分成两组,组与组之间没有比赛，称这种情况为成绩表可约，这时显然是不应该排名次的.这样就有要求(4),(5)；其次是前后比赛成绩孑盾，比如说a胜b,b胜c,c平a,称这种情况为数据不一致•如果不一致的情况过于严重，说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低，应该考虑放弃比赛成绩.所以排名算法还应满足(6),(7).木文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求，下面将在§2屮给出具体算法.§3中给出算发满足
7、上述要求的解释和论证.§2模型设计及其算法一、基本假设和名词约定假设I参赛各队存在客观的真实实力(见名词约定1).这是任何一种排名算法的基础.假设II在毎场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为屮心的互相对立的正态分布.（见名词约定2）这条假设保证了我们町以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名，另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性.还应该指出的是，足球比赛不像田径比赛，虽然每次比赛的成绩是随机的，但其样品的观测值完全是已知的；而对球队比赛屮体现的实力并不知道，从随机变量的若干样品去估计其均值是数理统计中已有不少
8、现成方法的问题•足球比赛虽然也是抽样，却无法观测样木的准确值，每个球队的实力只能通过比赛去体现，这样足球比赛
