数学建模-牙膏销售量研究作业完全打印版

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1、牙膏销售量的研究摘要本文从收集有关牙膏销售量数据开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合考虑这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。模块Ⅰ中，我们假设在和对y的影响独立，从而得到了方程：在模块Ⅱ中，我们假设和对y的影响有交互作用，进一步得到新的方程：【关键字】线性回归模型相关系数一、问题提出由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。通过对数据的统计分析，找

2、出与数据拟合最好的模型，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型，预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量二、问题分析某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市

3、场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据11销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)13.853.80-0.055.57.3823.754.000.256.758.5133.704.300.607.259.5243.603.700.005.507.5053.603.8

4、50.257.009.3363.63.800.206.508.2873.63.750.156.758.7583.83.850.055.257.8793.83.65-0.155.257.10103.854.000.156.008.00113.904.100.206.507.89123.904.000.106.258.15133.704.100.407.009.10143.754.200.456.908.86153.754.100.356.808.90163.804.100.306.808.87173.704

5、.200.507.109.26183.804.300.507.009.00193.704.100.406.808.75203.803.75-0.056.507.95213.803.75-0.056.257.65223.753.65-0.106.007.27233.703.900.206.508.00243.553.650.107.008.50253.604.100.506.808.75263.704.250.606.809.21273.753.65-0.056.508.27283.753.750.005.

6、757.67293.803.850.055.807.93303.704.250.556.809.26MATLAB作图得到2.1如下所示（相关程序代码见附录1）；11图2.1牙膏销售量与销售价格、广告费用的关系图一、模型假设假设收集的数据均真实有效。二、定义与符号说明y~公司牙膏销售量~其它厂家与本公司价格差~公司广告费用y~被解释变量（因变量）~解释变量(回归变量,自变量)11~回归系数e~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）一、模型的建立与求解（一）基于和对y的影响独立----模型Ⅰ1、作出图形，如下

7、图：由数据y,x1,x2估计b[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)输入y~n维数据向量x=[1x1x2x22]~n´4数据矩阵,第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05)输出b~b的估计值，bint~b的置信区间，r~残差向量y-xb，rint~r的置信区间Stats~检验统计量R2,F,p参数参数估计值置信区间β017.3244[5.728228.9206]β11.3070[0.68291.9311]11β2-3.6956[-7.49890.1077]

8、β30.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000y的90.54%可由模型确定p远小于a=0.05，b2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)，x22项显著。F远超过F检验的临界值，模型从整体上看成立，x2对因变量y的影响不太显著，可将x2保留在模型中。销售量预测价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4。估计x3→控制x1→通过x1、x2预测y。控制价格差x1=0.2元，投入广