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《数列要点及类型问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列部分要点及类型问题1、（等比、和通公式、递推、方程、推理）已知数列｛。”｝中，Q]=l，a2=a-1（a0且dHl）,其前斤项和为S”，且当n>2吋,111—=•S"色％（I）求证：数列｛S”｝是等比数列；（II）求数列｛%｝的通项公式；Q/7（III）若g=4,令化二匕,记数列｛仇｝的前〃项和为7；.设2是整数,a+3）（昭]+3）影7问是否存在正整数料，使等式Ttl+^^=-成立？若存在，求出料和相应的2值;5如8若不存在，请说明理由.解：（I）当n>2时，———=——,Snanan+Sn~Sn-Sn^l~Sn化简得S/=S”_S曲5»2）,又由S,=1^0,S2=a^of可推知对
2、一-切正整数n均有S”H0,・・・数列｛二｝是等比数列.（II）由（I）知等比数列｛S“｝的首项为1,公比为a,・・・S”=严・当n>2时，陽話叽十一1）严,又坷二&=1,・5一((。—1)C(n>2).(Ill)当a=4,«>2时，色=3x4"一S此时79色9x3x4”—$b==”a+3)(%
3、+3)(3x4“+3)(3x4〃t+3)_3x4"__J1一(4心+1)(4心+1)一4“-2+]4”-i+]，又b=2^=2,1(q+3)(色+3)8当n>2时,尹(严F齐?)+…+后口一历P71影73；7气5%8858若H=l,贝IJ等式人+_^_=丄为三+仝二丄，2=2不是整数，不符合题意.・・
4、・/1是整数，・・・4心+1是5的因数.・••当且仅当n=2时，二一是整数，・・・/1=44灯+1影7综上所述，当且仅当2=4时，存在正整数料=2,使等式血+二亠=—成立.5%82、(递推、等差、结构拆分、不等式、数学归纳法)已知数列｛色｝满足且对任意庇2,都有企二如空.5an+an++2(I)求证：数列｛+｝为等差数列；(II)试问数列｛色｝中色•色+](kwNj是否仍是｛a,｝中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由・71(III)令仇=—(—+5),证明：对任意心N驾都有不等式2*>b；成立.3色解：(I)色陽+1+2色=4佔+】+2%,即2an-2an+i=3an
5、an+l,所以——=-,色+1an2153所以数列彳一是以三为首项，公差为？的等差数列.4on由⑴可得数列岀的通项公式为十警，所以叨鼎2%%一苏23伙+1)+29V+2U+10W+2K+6+23昧+7“2+22因为3宀〃+2次+3如+世±12,12当ke^时，*仏+1)—定是正整数,所以3"+7k+2是正整数.22(也可以从£的奇偶性来分析)社2+7U所以是数列｛%｝中的项，是第一项.(III)证明：由⑵知r严耐亿=
6、(丄+5)=*色导3an32+5)=/?+4下而用数学归纳法证明：2"+4>5+4)2对任意庇N*都成立。(1)当n二1时，显然25>52,不等式成立.(2)假设当n=k(keN
7、*)时,有2屮>伙+4尸,当z?=k+1H寸，2曲)+4=2•2⑷>2仗+4)2=2/+16R+32=伙+5尸+/+6R+7>伙+5)2即有：2亦>仇+「也成立。综合(i)(ii)知：对任/V*,都有不等式">仇2成立3、(等差、放缩、求和、函数、不等式)对于定义域分别为M,N的函数y=f(xy=g(兀),规定:/(x)-g(x),当兀wM且兀wN,函数h(x)=
8、轴的交点，点化的1I12坐标为(色,仇)。求证：——+——+•••+——<-;
9、片巴「比4「
10、片代
11、5解：易知h(x)=x2+2x+2,所以hx)=2x4-2所以仇=gan)=2an+2显然点Pgh)在直线/上,且=-1又｛%｝是等差数列，公差为1所以色=11一2,»=2n-2故化⑺一2,2“一2),又片(-1,0)所以P}Prl=V5(/t-l)(/t>2)12+-11…・111PAPR22"5所以1+"22321(—1)211——+——+•••+1-22-3=—1+1<—5/?-15■■4、(数列的概念、性质、求和、数列与不等式、发散性)设数列｛色｝的通项公式为an=pn^q(neN
12、P>0Y数列｛$｝定义如下：对于正整数/〃,饥是使得不等式>m成立的所有/?屮的最小值.(I)若p=g,q=_g，求伏；(II)若p=2,q=-,求数列｛乞｝的前2刃项和公式;(III)是否存在卩和°使得-=3加+2(加wM)?如果存在，求“和g的取值范围;如果不存在，请说明理由.I解析】(I)由题意，得a”=—“—，解一川—》3,得斤》—."23233:.-n-->3成立的所有/7中的最小整数
