数列求和问题的基本类型探讨(草稿)

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1、数列求和问题的基本类型探讨电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号码13037341167；电话07342518006；QQ：406426941湖南祁东育贤中学周友良421600湖南祁东一中曾令军421600数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、例

2、1．已知，求的前n项和.解：由，由等比数列求和公式得=＝＝1－例2．是否存在常数a、b、c，使等式12·+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。分析：这是一个开放性命题，可以从两个角度来解决。解一：∵n2(n+1)=n3+n2∴12·2+22·3+…….+n2(n+1)=(13+12)+(23+22)+(33+32)+……+(n3+n2)=(13+23+33+……+n3)+(12+22+32+……+n2)=n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1)=n(n+1)[3n(n+1)+2(2n+1)]

3、=n(n+1)[3n2+7n+2]令a=3,b=7,c=2，则对任意n∈N。都有原命题成立。解二：假设命题成立，在等式中令n=1,2,3,得12·2=(a+b+c)12·2+22·3=(4a+2b+c)12·+22·3+32·4=(9a+3b+c)即a+b+c=124a+2b+c=289a+3b+c=50解之，得a=3,b=7,c=2往下再用教学归纳法证明。12·2+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(3n2+7n+2)对一切n∈N都成立。（略）评注：解法一分组后直接运用公式求和。二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法

4、，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例3．求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积当，当设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴例4.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。解析：①-②得：。点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再

5、把它与原数列相加，就可以得到n个.例5求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5例6.设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解析：因为点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。例7．已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．（Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值；（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即可；对于（Ⅱ），观察的构成：，可知（Ⅰ）的结论又为（Ⅱ）

6、作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键．（Ⅰ）由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立．由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：所以，所以，四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8．求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝

7、1时，＝（分组求和）当时，＝例9．求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得Sn＝（分组）＝＝（分组求和）＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)例10．求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝例11．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）＝＝例12求证：解：设∵（裂项）∴（裂

8、项求和）＝＝＝＝∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某