探讨数列求和问题的基本类型[]

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1、探讨数列求和问题的基本类型数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、例1、已知是一个首项为，公比为的等比数列，求解：由已知得，是首项为，公比为的等比数列。当时，当时，15例2、已知数列为等差数列，且=，（，，），求。解：数列为等差数列，公差==由等差数列求和公式，得例3、已知，求的前n项和。

2、解：由得，∴，由等比数列求和公式得=＝＝例4、设，求的最大值.解：由等差数列求和公式得，∴＝＝＝15∴当，即时，二、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个例5、求包含在正整数与之间的分母为3的所有不可约分数之和。解：设满足条件的所有分数之和为，则，倒序得两式相加，得例6、求的值解：设………….①将①式右边反序得……②又因为，①+②得∴例7、设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为15例8、求证：证明：设…………①把①式右边倒转过来得又由可得………②①②得∴点评：此类问题还可变换为探索题形

3、：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。例9、已知函数，点，是函数图象上的两个点，且线段的中点的横坐标为．（Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值；（Ⅱ）若数列的通项公式为求数列的前m项的和。（Ⅰ）证明：由题可知：，所以，15点的纵坐标是定值，问题得证．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立．由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：所以，所以，三、累加法例10、求和解：由得,令得，，，，把以上各式两边分别相加得：，因此，【想一想】利用此法能否推导自然数的立方和公式：15【点拨】利用进行累加.四、乘公比错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种

4、方法主要用于求数列的前n项和，其中、分别是等差数列和等比数列。例11、求和解：，①，②①②，得==故例12、求和：………①解：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，设……②①－②得再利用等比数列的求和公式得：∴【练习】1、数列前n项的和。152、求和【答案】1、；2、五、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例13、求数列的前项和解===例14、求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得当时，＝当时，＝【练习】1、求数列的前n项和。152、求数列的和。【答案

5、】1、；2、六、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)例15、在数列中，，又，求数列的前n项的和。解：　∵∴∴数列的前n项和＝例16、设定义在R上的函数对任意实数满足关系式对正整数令且，设，求数列的和15解：由题设有即所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列从而，于是因为所以==例17、求证：证明：设S=左边，∵（裂项）＝＝＝【练习】1、求数列的前n项和。2、已知数列{}的通项，求此数列前项和。3、求证：【答案】1、；2、

6、；3、考虑两角差的正切函数公式的变式，事实上，由，令，各式相加即得结论。七、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求15例18、在各项均为正数的等比数列中，若，求的值。解：设＝＝=10例19、求的值。解：设∵∴八、数列的“通项分析法”求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例20、求之和。解：由于∴＝＝＝15＝例21、已知数列：的值。解：∵＝＝∴＝＝例22、已知数列为等差数列，公差，其中，恰为等比数列，若，求。解

7、：设首项为，公差为∵成等比数列∴，∴，∴，设等比数列公比为，则，对项来说，在等差数列中：在等比数列中：，∴∴注：本题把看成是数列的求和问题，着重分析15的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。九、分部求和例23、已知数列的通项，求其前项和．解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，∴，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，∴，所以，．例24、求和解：当时，当时