数列求和问题的基本类型探讨（草稿）

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1、数列求和问题的基本类型探讨　　电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号码13037341167；电话07342518006；QQ：406426941　湖南祁东育贤中学周友良421600　　湖南祁东一中曾令军421600　　数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。　　　一、利用常用求和公式求和　　　利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.　　　1

2、、等差数列求和公式：　　　2、等比数列求和公式：　　3、4、　5、　例1．已知，求的前n项和.　　解：由，由等比数列求和公式得=＝＝1－　　例2．是否存在常数a、b、c，使等式　　12·+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。　　　分析：这是一个开放性命题，可以从两个角度来解决。　解一：∵n2(n+1)=n3+n2　　　∴12·2+22·3+…….+n2(n+1)　　=(13+12)+(23+22)+(33+32)+……+(n3+n2)　=(13+23+33+……+n3)

3、+(12+22+32+……+n2)　　　=n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1)　　　=n(n+1)[3n(n+1)+2(2n+1)]　　　=n(n+1)[3n2+7n+2]　　令a=3,b=7,c=2，则对任意n∈N。都有原命题成立。　　解二：假设命题成立，在等式中令n=1,2,3,得　12·2=(a+b+c)　　　12·2+22·3=(4a+2b+c)　　　12·+22·3+32·4=(9a+3b+c)　即a+b+c=12　4a+2b+c=28　9a+3b+c=50　　解之，得a=3,b=7,c=2　　　往下再用教学归纳法证

4、明。　12·2+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(3n2+7n+2)　对一切n∈N都成立。（略）　评注：解法一分组后直接运用公式求和。　　　二、错位相减法求和　　　这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.　　　例3．求和：………………………①　解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积　　当，　　当　　设……………………….②（设制错位）　　　①－②得（错位相减）　再利用等比数列的

5、求和公式得：　　　∴　　　例4.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令　　　，求数列的前项和。　解析：　　　①-②得：　。　　点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列　的前项和求解，均可用错位相减法。　三、反序相加法求和　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.　　例5求的值　解：设………….①　将①式右边反序得　…………..②（反序）　又因为　　①+②得（反序相加）　＝89　　　∴S＝44.5　　　　　　例6.设数列是公差为，且首项为的等差数列

6、，求和：　　解析：因为　　　　　　　　　点评：此类问题还可变换为探索题形：　　已知数列的前项和，是否存在等差数列使得　　　对一切自然数n都成立。　例7．已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．　　　（Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值；　　　（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；　　　讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即可；对于（Ⅱ），观察的构成：　　　，　　可知（Ⅰ）的结论又为（Ⅱ）作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，

7、本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键．　（Ⅰ）由题可知：，所以，　　　点的纵坐标是定值，问题得证．　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立．　　　由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：　　　　所以，　　　所以，　　　　四、分组法求和　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.　例8．求数列的前n项和：，…　　　解：设　　　将其每一项拆开再重新组合得　　　（分组）　　当a＝1时，＝

8、（分组求和）　当时，＝　例9．求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.　　　解：设　　∴＝　　将其每一项拆开再重新组合得　　Sn＝（分组）　＝　＝（分组求和）　＝　　　五、裂项法求和　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.