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《课题:48正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课题:4.8正稔馅毅.金禳缶毅的图彖毛徃质(4)教学目的:1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;3.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.教学重点:正、余弦函数的性质教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.y=sinx,x^R和y二cosx,xWR的图彖,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.fyz;&兀=5氷—4兀…■才2^2兀-■•分、一f(x)=兀―3*、^4兀5分、^6兀..xsin(
2、x)fy..-6n-4k.---2兀f(x)=0-2k-4nFt丿..6nxcos(x)2.用五点法作正眩函数和余眩函数的简图(描点法):正弦函数y=sinx,xW[0,2口的图象中,五个关键点是:(0,0)(
3、,1)(71,0)(y,-l)(271,0)余弦函数y二cosxxg[0,2兀]的五个点关键是(0,1)(彳,0)(71,-1)(¥,0)(2兀,1)3・定义域:正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(一8,4-00)],分别记作:y=sin/,丸WRy=cosx,/GR4.值域正弦函数、余弦函数的值域都是[一1,1]・其中正弦函数尸sin
4、*/WRjr①当且仅当x=—H、&WZ时,取得最大值1.2JT②当且仅当x=——H,圧Z时,取得最小值一1.2而余弦函数尸cosx,/WR①当且仅当x=2k口,&GZ时,取得最大值1.②当且仅当/=(2&+1)乃,圧Z时,取得最小值一1.1.周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数,2&乃(&WZ且SHO)都是它的周期,最小正周期是2兀2.奇偶性y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数正弦曲线关于原点。对称,余弦曲线关于y轴对称3.单调性正眩函数在每一个闭区间[—兰+2&兀,兰+2&刀](Aez)±都是增函数,其值从一1增大到221;在每一个闭区间[兰+
5、21,—+2^/r](圧Z)上都是减函数,其值从1减小到一1.22余弦函数在每一个闭区间[(2W—1)疗,(Aez)±都是增函数,其值从一1增加到1;在每一个闭区间[2&乃,(2&+1)刀](&EZ)上都是减函数,其值从1减小到一1.二、讲解范例:]—X例1求函数y=sin——乃的单调增区间.2误解:令口=~—乃Vy=sinu在_2k兀—乞,2k+—(W^Z)上递增222・'h——刀W2斤刀+艺解得——4W+2222・・・原函数的单调递增区间为[一4&,一4&+2](圧Z)1—Y分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令U=—-兀,忽视了H是
6、/的减函数,2未考虑复合后单调性的变化.正解如下:1—r解法一:令U=乃,则U是X的减函数2—C又Vy=sinu在[2A^+—,2k+(AeZ)上为减函数,227r•••原函数在[2斤刀+丝,2/CJT+-](&WZ)上递增22^rr12"TT设2殳"+—W开W2k开—解得一4k—2Wx^—222・••原函数在[―4&—2,-4A](WEZ)上单调递增X—1x—1解法二:将原函数变形为,K=-sin——乃因此只需求sin——"=y的减区间即可22X—1•:u=——乃为增函数•:只需求Sinu的递减区间2jry12JT・・・2A■刀+—WJi^2kJi+
7、—解之得:4侶222・•・原函数的单调递增区间为[4A+2,4斤+4](AeZ)一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如丨sin%IWl,IcosjvIW1来求三角函数的最值.例2纸方是不相等的正数.求y=V^cos2x+/?sin2x+V^sin2%+/?cos2x的最大值和最小值.解:y是正值,故使#达到最大(或最小)的/值也使y达到最大(或最小).y=^cos2%+/?sin2Az+2V^zcos2x+/?sin2x•V^sin2x+/?cos2x+in2^+^cos2^=a+b+J4ab+(a-b)2sin,2兀':afb,(^―Z?)2
8、>0,0Wsii?2泾1・••当sin2x=±1时,即x=号■+冷(kwZ)时,y有最大值』2(a+b);当sinx=O时,即/=—(圧Z)时,y有最小值4^+4b.2二、利用三角函数的增减性如果在[0,尸]上是增函数,则/U)在[0,0]上有最大值f(0),最小值f(o);如果代方在[a,〃]上是减函数,则在[。,〃]上有最大值f(a),最小值f(〃).JT例3在OWxW—条件卜,求y=cos2x—sinxcosx—3si『x的最大值和最小值.2解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有1+cos2x门・cc1一cos2x「c・c、_22=2V2(cos2
9、xcos仝—sin2%sin—)—1=2V2cos(2x+—)—1444,一兀71一,兀_5龙