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1、基于数学结构思想的解题教学袁晶无锡市第六高级屮学摘要：利用数学结构思想指导学生数学解题教学，从结构和本质上认识数学，通过联想、感知和分析数学结构，提高学牛对知识的系统掌握，领悟数学思想方法，培养学卞分析问题和解决问题的能力。关键词：数学结构思想数学结构解题教学1问题的提出解题教学是数学教学过程屮的一个重要纽成部分。在平时的教学过程屮，我们经常发现学牛解题时不能准确提取题目屮的有用信息，无从卜-手，或者不能及时更换思维策略，不知所措，从而导致学生数学学习上的困难。例题1：P是函w=/(X)图像上的点，0是函=g(x)图像上的点，且尸,0两点之间的距离
2、P0
3、能取到最小值〃，那么将d称为函^y=
4、f(x)^y=g(x)之间的距离。按这个定义，求函数几工)=严和g(x)=J-*+4兀-3之间的距离。此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题冇两个突破点：(1)y=fM是一个幕函数，图像就是抛物线j2=x在笫一彖限的曲线；y=g(x)是圆(x-2)2+j2=1在第一象限的半圆llll线。(2)点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到到圆心的距离。第二个突破点是解题的难点。其实，解决例1时，我们若是能联想一类题目，如引例：求直线兀+j-14=0上的点与圆兀2+j2_4x-4j-10=0上的点的距离最小值。那么。例1中的问题就会有一定的突破。对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动
5、点到某直线的距离，可以借助圆心到该直线的距离的探究，利用圆的特征，实施“动”到“定”的转化。然而结合引例，分析例题1,两题的联系在于y=g(x)也是圆的一部分，都是解决距离问题。因此，通过对题目中数学结构的分析，让学生联想到同样借助“动”到“定”的转化，进而实现解题的突破。从以上解题分析我们能感受到，数学结构思想对解题的帮助，教师平时的解题教学屮，引导学牛通过解题,理解和分析题中数学结构和知识特征,使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。2数学结构思想结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发
6、展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间统一性。数学结构通常分为两人类:纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等;另一类为一般数学结构,即为了实现数学的教冇功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构.如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表而上的差界，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质的再认识与再处理。可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完
7、整的数学结构体系,提鬲学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。3数学结构思想在解题教学的运用和实践3.1联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次的抓住问题木质,如例题1,解题教学过程屮，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，寻找知识间的联系，再通过分析引例与例题1间的区别：y=f(x)的图像不是直线。故要设点尸的坐标，表示出点尸到関心的距离，进而借助函数解决问题。教师引导学生联想
8、已有的数学结构,找到解决问题的突破口，讣学牛明确问题中数学知识的联系和区別，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的真正方法。3.2感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系理解和学握数学结构思想有助于学牛建立良好的数学认知结构。--道题目屮，一个己知条件可以存几种不同考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目屮的数学结构，识別各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。例题2：已知屮，AB=1,BC=2,求角C的取值范围。分析：方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定判断三角形解的个数”知识，借助图形有l»2sinC,得到sinC<—,再结合
9、Cg(0,兀)得Cw0,—<>方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”知识,设AC=x,借助余弦定理表示出cosC=xU=兰三=兰+丄,结合工的范围4x4x44x利用基木不等式，得cosC>—,再结合Cg(O,对得Cw0,-o2<6_方法三：感知“三介形屮，已知的边ABRBC二〃”结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”知识，先确定边BC,再以B为圆心，1为半径作岡，寻找顶点A
