略谈数学结构观下的解题与教学

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1、略谈数学结构观下的解题与教学杭州市萧山区第五高级中学沈良311202（本文发表于数学通讯教师刊2012年第12期）1问题的提出例1对任意实数，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）这是市里高三期末统测时的一道选择题，或许是笔者的孤陋寡闻，对此题笔者似乎还是初次相见。求解中分离变量后转化为求的函数的最大值，那么如何求这样一个函数的最值呢。笔者正是抓住这个函数的结构特征展开思考，“”是个二元齐次函数，“二元”与“齐次”都成为解题的突破口，依此分别从以下三方面来思考。方法1抓住“齐次”特征，巧施换元。=（设），然后求导解决。

2、方法2抓住“”结构，巧用基本不等式。=，要使为常数，只要，即可求解。方法3抓住“二元”结构，巧赋“一元”函数。设（其中为参数），然后求导解决（这里运用的是高等数学里二元函数用偏导求最值的想法，对中学生不做要求）。从以上的解题分析中，不难使我们感受到数学结构对数学解题的帮助，往往特殊的结构特征会成为解题的突破口。本例中，“齐次式”成为换元的理由、“”成为使用基本不等式的原因、“二元”成为“降维”的因素，所以正是抓住了这些特征明显的结构才使得问题迎刃而解。2何谓“数学结构”文[1]中指出，通常将数学结构分为两大类：一类为

3、纯数学结构，即纯粹为了数学自身发展的需要而提出的一些数学结构。如代数结构、序结构和拓扑结构等。另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。本文阐述的数学结构更倾向于后者，泛指数学概念、性质、法则、公式、公理、定理等内容中表现的外在形式和蕴含的内在本质、逻辑思维的统一体，特别指特征明显、属性显然、易于识别联系的结构。这是一个模糊的概念

4、，它可以是某一个具体的代数式、几何图形，也可以是某一种抽象的模型结构、推理方法等。3结构观下的解题上述的数学结构在解题中往往起着关键作用，解题者可以通过对结构的感知、识别、联想、归纳、类比、转化、建构等方式实现解题目标。而对其应用解决一般经历如下过程：①感知结构、识别特征；②联想结构、寻找联系；③应用结构、实现目标。3.1感知结构、识别特征感知结构、识别特征——指解题者对所解决的结构能有效识别，识别其形式、特征、功能、可能的解决策略等，这是解题的基础。这也就要求解题者有相应的知识基础，否则解题也将失败。如上中，解题者

5、若不明遇到齐次式可以尝试换元那方法1就会失败，若不明遇“”可尝试不等式那方法2就会失败，若不明遇“二元”可用参变量法“降维”那方法3就会失败，所以解题者的数学基础成为解题的基础。另一方面，对结构的不同识别会产生不同的策略，这也正是例1中有三种解法的原因，不同策略又会带来不同的优越性，从这个角度上说如果有可能解题者应对解题策略做个优劣分析，从而博观约取、择优入取。3.2联想结构、寻找联系联想结构、寻找联系——指解题者对识别的结构通过联想的方式将其与相关的知识、方法紧密联系起来。往往解题中一些特征明显的结构，成为连接知识

6、点、方法链的纽带。通过这些结构，使解题者做出某种直觉判断与联想思考，从而实现问题的转化。例2.中，已知内角的对边分别为，且,求面积的最大值。分析：，而“”会令我们联想到关于角的余弦定理，即有，而对于“”、“”又会令我们联想到基本不等式，转化为“”，即，从而解决问题。从以上的分析中，不难看到正是通过“”这个因子，由面积公式联想到余弦定理再联想到基本不等式，所以“”这个结构式是座“桥”，通过联想搭起了三者的联系。那么如何来实现联想？似乎知识总在那里，关键看解题者能否提取。这就要求解题者：其一能识别结构，即前文所述对结构的

7、有效识别，特别是对特征明显的结构的识别。如本例中，通过面积公式产生的“”这个结构，就要求在解题者熟悉余弦定理与不等式前提下才能对“”能做出识别、判断与转化。其二能建立知识的框架体系，在这个体系下熟悉知识结构间的联系、转化、迁移、发展等。如对高中生而言就需要建立函数、不等式、方程的联系，建立向量、几何、代数、三角间的联系，建立求函数最值的模型结构与匹配的方法间的联系等。3.3应用结构、实现目标应用结构、实现目标——指解题者对结构识别、联想之后，在核心思想与方法的指导下进一步应用结构实现解题目标。那么具体如何应用结构呢？

8、这里主要提及两个关键词：转化与合情推理。（1）转化结构，寻求化归转化一词在数学中内涵非常丰富，未知与已知的转化、简单与复杂的转化、正向与反向的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化等等。具体方法有等价变形、换元法、代换法、构造法等。但另一方面转化又具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，很多时候容易导致解题者陷入困境。数学结构观下，要求解