导数在数列中的应用1

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1、导数引入屮学数学教材，给传统的屮学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程屮的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今屮学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上,而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。例1求下列数列之和：(1)1+2x+3兀~+…tvcn1；(2)1+2~x+3"%+3•2x+4•3%2+…+/i(/t—1)兀"~4-•n~xnl:(3)C；+C；x+C>2+•••C,y-2.分析(

2、1)由(『j=伙=1,2,・・・力，可设f(兀)=1+2兀+3兀口…+处心，则1_兀卄1f(X)=1+兀++X’+…+兀"，而1+X+F+X’+…+兀"=(XH1)上式两端求-x导，并整理得I+2Z*•"讥半芒产①(2)比较(1)(2)两式中的通项可发现，只需对两端同乘以尤，再对x求导便可得到1+X—(M+1)2*+(2h2+2m—I)#1"—兀彳兀”+〜(3)由*=咛厂=1(十)•可知只需对式两端继续求导便可得到2-(n2+n)xn~l+2(n2-l)-(n2-n)xn+l(1-x)3C；+C；x+C：F+・・・C,h1

3、+兀一(m+1)2兀"+(2/r+2/2-1)严一n2x,,+2注只要对上述三个求和式中的兀赋予具体值便可得到一系列数列求和公式。例如在(1)中令兀=2,可得到1+2-2+3-22++=2w(z?-l)+l0而此前我们只能用“错位相减法”解决.例2求下列数列的和(1)C：+2C；+3C：+・・fC；；；⑵©+2七；+32。+・・“七；；2"g+*C；C；+gg+…躺etc;；・分析(1)观察(1)式屮各项的组合数排序类似于二项展开式屮各项的组合数排序，故可设(i+xy=q+cx+c；x4sin2-同理可得cos兀+2cos

4、2x+3cos3x+••-+ncosnx+•••+c;：x”两端对求导，得77(14-xf1=+C；+2C；x+•••+ncyx®令x=l,得C+2C：+3C；+…/?€；；=n•2心由例1中(2)的解法可想到，只需在②的两端同乘以，再求导便可得到71(71一1)(1+X)"-2x+"(1+x)M_1=C+22C：x+32C^x2+…+n2C>w_,令x=l,得C：+22C;+32C；+…h2C；；=C;+12i（3）由例1中（3）的分析可想到只需在②的两端同乘以F,再求导便可得到/?(/?-1)(1+x)H'2x2+2

5、/?(1+x)"-'X=2C>+3-2C~x2+4•3C；疋+…+⑺+1)・nC：；x"=/?(/?-!)得

6、q+夢C；+穿c；+…++/?223〃(/?+1)・nC：；,1(7/7-1)例题3求下列数列的和(1)sinx+2sin2x+3sin3x;?sinnx(2)cosx+2cos2x+3cos3x+•••+ncostvc分析(1)由(。0$处)=-nsinnx.可设f(x)=cosx+2cos2x+3cos3x+•••+ncosnx贝UfM=-sinx-2sin2x-3sin3xnsinnjc而2sin—(cosx+

7、2cos2兀+3cos3x+•••+〃cosnx).3.x.5.3.⑵2+1)兀.(2/?-l)x=sin—x-sin—+sin—x-sin—x+---+sinsm222222•(2zi+l)x•Xsinsin—即cosx+cos2x+cos3兀—+cosnx=,2sin-2两端对求导并整理得sin兀+2sin2x+3sin3兀nsinnx(t?+1)sinnx一nsin(«+l)x（〃+l）cosnx一ncos（7?+1）兀一14sin2—2利用导数求数列的和，关键在于抓住和式的结构特征，联想求导公式构造相关的函数式，通过

8、对函数式的不同表达形式的求导，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性.例4：数列｛%｝中，a】=0,=2-色(1)求数列｛色｝的通项公式;(2)数列前〃的和记为片，证明sn0)1V因为=—1+兀X+1当兀>0时，/(x)>0,所以/(x)为单调递增函数，所以/（兀）>/（0）=0,即有x>ln（x+l）,八123n-iSfl=Cl

9、y+⑦+•••+%=（J11…234n卄（1+丄+丄+・・・+丄）23n