导数在数列中的应用

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1、导数在数列中的应用韩金芳（数学系数学与应用数学青海省西宁市810000）摘要：导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力。由于数列可看做特殊的函数，所以自然可联想尝试应用导数知识解决数列问题。关键词：导数数列应用函数TheapplicationofderivativeintheseriesAbstract：Thederivativeisapowerfultoolforsolvingfunctionproblems,moremathematicalproblemsolvinghasinjectednewvitality.Theseriescanbe

2、seenasspecialfunction,sonaturalcanassociatetryderivativetosolvetheseriesofproblems.Keywords：Derivative；series；application；function一．导数的概念1、定义：左导数：右导数：可以证明：可导连续即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1已知数列{}的通项=,nN+,求数列{}的最大项解：构造辅助函数f()=(x>0),则=16x-显然，当00,当x>时，

3、()<0,故f(x)在区间（0,）上是增函数，在区间（,+）上是减函数，所以当x=时，函数取最大值。对于nN+,f()=,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{}的最大项为=75.2.利用导数研究数列的增减性例2设定以在R上的函数f()与数列{}满足：>a,其中a是方程f()=x的实数根，,f()可导，且（0,1）.（1）证明：>a,(1)判定与的大小关系，并证明证明（1）由已知>a,即n=1时，>a成立.(2)设n=k时>a因为()>0，所以f()是增函数，所以=f()>f(a)又由题设可知f(a)=a，所以即n=k+1时，命题

4、成立.由（1）（2）知nN+时，>a成立.(2)要比较,的大小，即比较和f()的大小，构造辅助函数g()=x-f()，则(x)=1-(x)>0,故g()是增函数，所以当>a时，g（）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g()=，所以>0，故即3.利用导数求数列前n项和例3求数列前项的和.解：当x=1时，=1+2+3+…+n=当x1时，因x+2x++…+=，两边求导数，得1+2x+3+…+n-=1-(n+1)+综上可知：当x=1时，,当x1时，4．利用导数证明数列不等式例4若其中t[,2],是数列{}前n项的和，求证：证明：构造辅助函数()=,t[,2

5、]则()=.当时(t)<0当10故f()在[,1]上递减，在[1,2]上递增所以=f()=f(2)=即=所以说明这里需要证明：所以命命题的证.5.导数在数列求和中的应用例5，求下列数列之和（1）（2）（3）分析（1）由可设则而上式两端对x求导，并整理得[1]（2）比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x，再对x求导便可得到：（3）由可知只需对[1]式两端继续求导便可得到：=三．数列是特殊的函数（导数的应用）1.函数的单调性与导数例1已知函数f(x)=--1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否

6、存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解析（1）由已知=3-a.因为f(x)在R上是单调增函数，所以f′(x)=3-a≥0在R上恒成立，即a≤3对x∈R恒成立.又因为3≥0，所以只需a≤0.又因为当a=0时，f′(x)=3≥0,即f(x)=-1在R上是增函数，所以a≤0.(2)由=3-a≤0在(-1，1)上恒成立,得a≥3，x∈(-1,1)恒成立.因为-1

7、实数a≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2.函数的极值与导数例2已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+-10x的一个极值点.(1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b与函数y=的图象有3个交点，求b的取值范围.解析(1)因为=+2x-10,所以=+6-10=0,因此a=16.(2)由(1)知，=+2x-10=(x>-1).此时，、随x的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f′(x)+0-0+f(x)单增极大值单减极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1

8、,1)内单调递增，在(1,3)内单调递