导数在不等式中的应用(1)

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1、毕业论文浅谈导数在不等式证明中的应用学号学生姓名院系数学系专业初等教育（数学方向）班级2010级初教数学1班指导教师二〇一三年五月毕业论文（设计）成绩评定表学生姓名论文题目指导老师职称论文成绩指导教师评语年月日说明：1.成绩评定采用四级制，即优、良、合格、不合格。2.评语内容包括：理论意义、实践意义、达到水平、观点及论证有无错误等浅谈导数在不等式证明中的应用陈雪君（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县742500）摘要：导数是研究函数性质的重要工具之一，也是中学数学中最基本和最重要的内容之一，利用导数的方法证明不等式是不等式证明中重要的组成

2、部分。掌握导数在各种不等式中的证明方法和证明技巧对学好数学有很大的帮助。在数学教学中，将数学问题系列化，能够有效地提高学生解决数学问题的能力，本文将通过举例和评注的方式来阐述在不等式证明中导数的一些方法和一些技巧，提高学生利用导数证明不等式的能力。关键词：导数；证明；不等式引言不等式与等式一样,在数学问题中都是非常重要的课题,不等式的研究范围更广,难度更大。以函数观点认识不等式,应用导数为工具,不等式的证明将化难为易,迎刃而解。常用的证明方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等等，然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的

3、，我们在学完中值定理与导数的应用这一内容以后，可以利用导数函数的单调性、最值和利用导数求出函数值域在证明不等式等相关知识解决一些不等式证明的问题。一、利用导数函数的单调性证明不等式对于一些不易入手的不等式证明，可以利用导数思想，先通过特征不等式构造一个函数，再判定其函数单调性来证明不等式成立，这就是利用函数的单调性证明不等式的思想。定理：（函数的单调性的判定法）:设函数在上连续,且在内可导。①如果在内,那么函数在上单调增加；②如果在内,那么函数在上单调减少。上述中的闭区间换成任何区间（包括无穷区间）,结论也是成立的。很明显，若在上单调增加，

4、则，反之亦然。下面是利用函数的单调性证明不等式的举例。（一）取导数法例：证明：当时，不等式恒成立。证明：令=,则因为又因为当时，，即当时，为增函数所以所以，即评注：此题是直接构造函数，然后用求导的方法证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。（二）取对数法例：设，试证：证明：要证明，只需证，即证。令，则，因为，又因为当时，有，所以，函数，即，也即，所以，。评注：此题是先利用取对数法把不等式变形后再构造函数，然后是对该函数求导证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。二、利用导

5、数的最值证明不等式由连续函数在上的性质，若函数在闭区间上连续，则在上一定有最大，最小值。这就为我们求连续函数的最大，最小值提供了理论保证。若函数的最大（小）值点在区间内，则必定是的极大（小）值点。又若在可导，则还是一个稳定点。所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值。下面举例说明：例：的定义域是，其中，若求证：证明：由题意知，令时，即，化简得所以或无解由解得或（舍）故时时因而在上递增，在上递减所以是的极小值点又在区间只有一个极值是的最小值，所以，的最小值的最小值为：又时成立评注：此题先对已

6、知函数求导，然后求出驻点，判断它在已知区间内的单调性，得出极值点，进而加以比较，从而证明不等式成立。例：已知：，证明：当时有。证明：令，则令，求得，则，因为，令求得驻点为又因为当时，，所以在上的最小值为，最大值为从而，，。评注：此题先构造一个函数，求出其在某一区间内的全部驻点和不可导处的函数极值以及在区间两端点处的函数值加以比较，从而证明不等式成立。结论本文是通过以举例和评注的方式对导数在不等式证明中的方法进行了阐述，可以看出导数在不等式证明中的重要性，从以上的各种例子可以看出导数为不等式的证明注入了新的活力，利用导数证明不等式的方法是不拘

7、一格的。我们在利用导数证明不等式时要灵活应用，应具体问题具体分析，随机应变，不能机械的只知道利用某一种方法。有时候多种方法结合使用，会使证明变得更加容易。参考文献［1］马德炎.常见的代数不等式的证明［J］.高等数学研究，2009（5）：27-29.［2］豆俊梅.高等数学中几类不等式的证明［J］.中国科技信息，2007.4（18）：228-229.