导数在不等式中的应用

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1、导数在不等式证明中的应用姓名:曹慧娟学号：200725020201指导老师：吴喜摘要：导数知识是高等数学中极其重要的部分，他们在不等式证明中有着广泛的运用。本文探讨了利用拉格朗日中值定理、函数的单调性、最值、凸凹性、泰勒公式、导数与积分的结合进行不等式证明的具体方法，结合实际例题总结了综合应用各种方法进行证明的基本思路。关键字：导数不等式证明一、前言从中学到大学，不等式的证明无处不见，方法在逐步积累，也在逐步得到多样化。微分中值定理和导数的应用是导数知识中的重要内容。微分中值定理主要有rolle定理、lagrang定理、cauchy定理，导数的应用主要包括：

2、利用导数判断函数的单调性、最值、凸性、泰勒公式等。我们可以根据大力的内容把它们和要证明的不等式有机结合起来，寻找证明中的有效途径。本文拟结合导数知识中的这些内容，通过具体例子来阐述它们在不等式证明中广泛应用，帮助大家对导数知识有进一步的理解与升华。二、应用（一）应用拉格朗日中值定理证明不等式定理1：若函数满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；则在闭区间[a,b]内至少存在一点，使等式成立例1：已知，证明不等式证明思路：由待证不等式建立函数式，运用拉格朗日定理得到等式，再消去证明不等式成立证：当时，不等式中等号成立，即（1）当时，令，

3、则6在区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在（a,b）使即（2）由，可使，再乘以得到，再由（2）即得，（3）由（1）、（3）可知当时，有（二）应用函数单调性证明不等式定理2：设函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，那么，若在（a,b）内,（或）则函数在[a,b]内单调增加(或减少)。例2：证明不等式，证明思路：由待证不等式建立函数，通过求导应用定理判定函数的单调性，再由函数的单调性证明不等式成立证：现证，。设当时，，且只有时，，因而在上严格递减，则对，有即再证。设。当时，，且仅当时，，因而在上严格递增，则对，6即综合以上得，（三）利用函数的

4、最值证明不等式定理3：如果是函数在某区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式（或），只要求函数的最大值不超过0（或最小值不少于0）就可得证例3：证明不等式：证明思路：由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判明是极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式证：设，则令，得唯一驻点又当时，；当时，从而是在上的最大值，即有即所以（四）利用函数的凸性证明不等式定理4：设函数在区间[a,b]上有定义，若对[a,b]上任意两点和正数总有成立，则称为区间[a,b]上的凸函数。例4：对任意实数a,b，有证明思路：根据待证不等式，选择适当的函数，判明其凸凹

5、性，应用定理证明证：设，则且所以在上为凸函数6即有即，当且仅当a=b时取等号。（五）利用泰勒公式证明不等式定理5：若函数满足泰勒定理，则有（其中在与之间）成立，则称此为在处的泰勒公式。例5：若在[0,1]上二次可微，且，证明证明思路：应用泰勒公式就是把所要证的不等式适当变形，把其中的函数用泰勒公式展开，在把展开式右边进行放大或缩小，从而推证要证的不等式。证明设，由泰勒公式得，（1）（2）（3）所以=则不等式得证（六）导数与积分的结合证明不等式例6：设，证明：对任何，有6证明思路：由待证不等式构造函数，通过题给条件判断单调性，再构造相应的不等式，引进参数，进行

6、从一点到另一点的积分，即可证明不等式证明由知为单调递减函数所以对t>0,,，不等式两边对t从0到积分，即又因所以三、总结通过挖掘导数的有关性质，并把它们应用到不等式的证明中，可以让我们体会到导数应用的广泛性和有效性。同时，我们可以看出，有些题目可以一题多解，深层掌握各个知识点的联系，通过比较选用最简方法，问题将会迎刃而解。在教学中不仅有助于培养学生的辩证唯物主义的观点，还有助于我们大学生拓展解题思路，进行发散性思维，提高他们解决实际问题的能力。希望通过这几道例题，能够对大家平时的学习有所帮助。参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析上册第三版[M].北京

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8、数学传播，1996年第31卷第1期：306[9]吉米