第12讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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1、第12讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一部分知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事情有两类不同方案，在第1类方案屮有加种不同的方法，在第2类方案屮有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N=加+〃种不同的方法。推广：完成一件事有n类办法，在第1类方法中有血!种不同的方法，在第2类方法中n有丿彼种不同的方法，…，在第加类方式屮有，亀种不同的方法，那么完成这件事共有N=叫+阴+・・•+叫种不同的方法。原则：分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类吋要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类；二是不同类的任何方法必须是

2、不同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不重不漏。2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法,那么完成这件事共有N=mxn种不同方法。推广：做一件事，完成它需要分成〃个步骤，完成第一个步骤有加1种不同方法，完成第二个步骤有加2种不同的方法，…，完成第〃个步骤有加”种不同的方法，那么完成这件事共有N=mAxm2x・・・x叫种不同的方法。原则：应用分步乘法计数原理解题时要注意以下儿点：(1)明确题目屮所指的“完成一件事”是指什么事，单独用题目屮所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说，是否必须经过几步才能完成这件事；(2)完成

3、这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成。(3)根据题意，正确分步，要求各步Z间必须连续，只有按照这龙、步骤逐步地去做,才能完成这件事，各个步骤Z屮既不能重复也不能有遗漏。3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，都是计数的方法问题，二者的区别在于：分类加法计数原理针対的是分类问题,英各种方法之间是相互独立的，英中的任何i种方法都可以单独完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤Z间相互依存，只有各个步骤都完成，才算完成这件事。(2)

4、两个计数原理的区别在于分类计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果。(3)计算原理的选择：如果完成一件事有〃类办法，这〃类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事情，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成这件事情要分成〃个步骤，各个步骤都是不可或缺的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数，就用分步乘法计数原理。第二部分精讲点拨考点1.分步加法计数原理(1)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

5、问：＜1＞从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？〈2＞从书架的第1,2,3层各取1本书，有多少种不同的取法？[EX.1]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?考点2.分步乘法计数原理(2)现要排--份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法?[EX.2]五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，不同的承建方案有多少种？考点3.计数原理的综合利用（3）将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有

6、5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数。[EX.3]用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图所示①②），要求在A,B,C,D四个区第三部分过关检测一、选择题1.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是（）A.25B.20C.16D.122.由0,1,2,3,・・・,9十个数码和一个虚数单位，可以组成虚数的个数为（）A.100B.10C.9D.903.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A.10种B.2’种C.52种D.24种4.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A.25B.26C.36D.375.4名同学分另漲名参力嗷、理、化竞

7、赛，每人W艮其中的1科不同的报名方法f檄（）A.24B.4C.4"D.346.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）A.24B.43C.34D.47.甲、乙、丙三个电台，分别有3、4、4人，新年屮彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话（）A.40次B.48次C.36次D.24次。8.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示五个盒子中。要求每个盒子只能放一个小球，且A