向量组的线性相关性与矩阵的秩练习88230

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1、第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩练习班级：姓名：学号：1.已知向量a=(l,0,l)r,P=(3-5,7)r,若4(a-y)-6(fl)=5y，求八解：4(a—/)—6(0+/)=5/4a~6/3=15/"(里2—筠T15…15’2.试直接(即不利用线性相关的定义)叙述〃个向量©，巾，…，"线性无关的定义女口果匕=k2二…=kn=0,等式热⑦+k2a2+•••+&,%=0恒成立,则a〕，勺…，％线性无关。3•判断向量0二(1,2,3,4)7是否为向量纽a】=(2,3,4,5)了，a2=(3,4,5,6)7,幻=(4,5,6,7)厂的线性组合,为什么？解：设存在三个

2、数“kv心使得(3=kxa{+k2a2+k3,即2k、+3為+4心=13k、+4k°+5k,q=24£]+5心+6心=35k{+6為+7他=4解线性方程组得k、=2,k-,=—1,k3=0P—la—a2+0勺4.将向量卩=(l,l,l,l)r表示成向量组切=(1,1,1,一2)卩，a2=(1,1-2,1/,a3=(1,-2,1,1/,«4=(—2,1,1,『的线性组合.解：设存在四个数力kvkv町，使得0=kg+k2a2+k3a3+即“i+心+心—2k彳=1k、+心—2k§+*4=1k、一2k°+心+灯=]—2k、+込+&+心=1解线性方程组得唯一解k、=1,k2=

3、1,k3=1,k厶==a〕+色+如+a45.将向量卩=(9,13,17,21)丁表示成向量组j=(1,2,3,4几5=(2,3,4,5)厂,a?=(3,4,5,6)丁的线性组合.解：设三个数心k2,為，使得0=kxa}+k2a2+k3av即k+2k)+3k<=92k、+3kr+4他=13H+4心+5心=174/C]+5褊+6他=21解线性方程组得处=0,k2=3,心=1/.0=Ocr!+3a2+a36.证明向量组q=(2,3-l)r,«2=(3,-4,6/,a3=(-5,0,7/线性无关.23-5解：£>=3-40=-189^0-167Qi，a2,$线性无关。

4、7.证明向量组©=(-2,4,1)7,«2=(3-2,-l)r,a3=(0?8,l)r线性相关.-230解:D=4-28=01-11.•.%,av如线性相关。8・已知向量组线性无关，试确定数久1説2，久3，使得向量组Q]+/?2么2,么2+2萊3,么3+几1^1也线性无关.解：设存在三个数R為，心，使得+2禹kl+（比1几2+殳2）^2+依2几3+為）^3=。/Cl+/l26Z2）+Z：2（6Z2+几3&3）+心（如+入Q

5、）=0,即1已知a】,a2,如线性无关，所以有k}+入心=0

6、3=0只须线性方程组的系数行列式D=血10入即2jA2A3H—19.设卩

7、=O],ps=«

8、4-«2Pr=G]+02+・••+%,且向量组eq,«2，…，為线性无关，证明向量组卩,卩2,…仇也线性无关•（提示：利川定义证明）解：设存在厂个数，使得k+為02Vkr/3r=0,有（kl+鸟2+…+&）Q]+（*2+心+…+忍）^2・・•+k「ar—0•・・Q],a”…,•线性无关，有k、+kc+灯+•・・+&=0k2+k3+•••+&.=0••••••忍=011•••11・・・1线性方程组的系数行列式Q==1h0•••1则匕=k2=k3=k4=0:・P，02,

9、03,04线性无关。10.设（Z],«2，…灼是一组n维向量,已知n维单位坐标向量组E]，&2，…，5能由它们线性表示，证明切"2,…，色线性无关.解：设向量组A斫，5…,6；向量组B：Q］，色，…，an>已知向量组A由向量组3线性表示，向量组3由向量组A线性表示；.••向量组4与向量组B等价nR(A)=R(B)=n则a】，色，…，线性无关。11.设绚,込,…,％是m个互不相同的数,又m

10、T)(.j=l,2,…，〃"，向量组3：0

11、,则由第三节的命题1得向量组A：a)—线性无关。匀,…，0,”线性无关2n~a丁cij,…,a),•••,Qjj=l,2,•…,IYI)11•••1aa2•••am92a：a2•••■■•■•••••■•■J"—111ala?•••12.设四维向量组A为：勺=(1,-1,2,4)7,«2=(0,3,1,2)丁亦3=(3,0,7,14)丁,«4=(i,-l,2,0)r,«5=(2,I,5,6)T.(1)证明么［皿2线性无关；(2)求向量组4中包含勺亦2的一个最大无关组.10312解：A=-130-11211725