向量组的线性相关性与线性无关性

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1、第二节向量组的线性相关性与线性无关性定义1设α1，α2，…，αm，β是一组n维向量，若存在m个实数k1，k2，…，km使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，则称β可以由α1，α2，…，αm线性表示(linearrepresentation)。或称α1，α2，…，αm线性表示(lineargenerate)β。例如：α1=(1,2,0)T，α2=(1,0,3)T,α3=(3,4,3)T，则α3=2α1+α2，即存在实数k1＝2，k2＝1使得α3=k1α1+k2α2，故α3可以由α1，α2线性表示。（大家想一想，这里的常数k1＝2

2、，k2＝1是怎么求出来的？）定义2设α1，α2，…，αm是一组n维向量，如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则称向量组α1，α2，…，αm线性相关(linearlydependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm线性无关。例1若一个向量组仅由一个向量α组成，则由定义2易知它线性相关的充要条件是α=0。例2若一个向量组仅由α，β两个向量组成，则α，β线性相关是指α，β这两个向量的分量对应成比例，换句话说，即是指α与β平行或α，β共线。证明：α，β线性相关存在不全为0的两个数

3、k1，k2使得k1α+k2β=0，不妨假设k10，则由k1α+k2β=0知α=β,此即说明α，β的分量对应成比例。注：类似可以证明，若一个向量组仅由α，β，γ三个向量构成，则α，β，γ线性相关的充要条件是α，β，γ共面。上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称α1，α2，…，αm线性相关是指存在不全为0的m个常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0,这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上，若按向量的分量

4、来看，这是一个方程组）：k1α1+k2α2+…+kmαm=0有非零解（k1，k2，…，km）。因此，我们有下述几种等价说法：α1，α2，…，αm线性无关以k1，k2，…，km为未知数的方程k1α1+k2α2+…+kmαm=0没有非零解k1α1+k2α2+…+kmαm=0只有零解：k1=k2=…=km=0由k1α1+k2α2+…+kmαm=0一定可以推出k1=k2=…=km=0若k1，k2，…，km不全为0，则必有k1α1+k2α2+…+kmαm0。注意：对线性无关这个概念的理解，要多多思考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，α

5、m线性无关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1+k2α2+…+kmαm=0。实际上，这种看法是错误的。大家想一想，当系数k1，k2，…，km全为0时，k1α1+k2α2+…+kmαm当然是零向量,这与α1，α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出：α1，α2，…，αm线性无关是指，只有当k1=k2=…=km=0时才有k1α1+k2α2+…+kmαm=0。或者换句话说，在k1α1+k2α2+…+kmαm=0这个条件下，一定可以推出k1=k2=…=km=0。实际上，以后我们证

6、明一个向量组线性无关时，一般均采用此观点，即先假设k1α1+k2α2+…+kmαm=0，然后在此假设条件下去证明k1=k2=…=km=0.例设e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T,证明：e1,e2,e3线性无关。证明：如果存在数k1，k2，k3使得k1e1+k2e2+k3e3=0，即通过左边的数乘和加法，上述等式即是所以k1=k2=k3=0。因此，e1,e2,e3线性无关。定理1向量组α1，α2，…，αm(m2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余m－1个向量线性表示。证明：先证必

7、要性。因为α1，α2，…，αm线性相关，所以存在不全为0的m个常数k1,k2,…,km使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0。不妨设k1≠0,则此即说明α1可以由α2，α3，…，αm线性表示.再证充分性。不妨设α1可以由α2，α3，…，αm线性表示，即存在m－1个常数（我们不妨设为）k2，k3，…，km使得α1＝k2α2+k3α3+…+kmαm即(－1)α1+k2α2+k3α3+…＋kmαm=0。且－1，k2，k3，…，km这m个数不全为0（至少－1不为0），故α1,α2，α3，…，αm线性相关。证毕。定理1指出了向量组的线性相

8、关性与其中某一个向量可用其它向量线性表示之间的联系。但它并没有断言究竟是哪一个向量可由其它向量线性表示。下面的定理2即回答了这样一个问题（当然是在更强的条件下）。定理2设（1）向量组α1,α2，α3，…，αm，β线性相关；（2） 向量组α1,α2，