常微分方程小结

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1、常微分方程小结常微分：常微分方程：只含一个白变量的微分方程.方程^-+b^+cy=f（t）（1.11）drdt（計+磅+y=0（1•⑵d~y2—+—siny=0（1.13）drI是常微分方程的例子，y是未知函数，仅含一个自变量F.微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.例如，方程（1.12）、（1.13）是二阶的常微分方程，-•般的n阶微分方程具有形式dydx心）=0dxn(1.14)这里*宀算…，船）是厂ydydx。■丄的已知函数，而H—定含dxn有虫牛；y是未知函数，乂是自变量.dxn第二

2、章初等积分法§1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程(2.1)1）变量分离方程形如dx的一阶微分方程，称为变量分离方程，其屮函数/（兀）在区间（a,b）上连续，g（y）在区间（c，d）上连续且不等于0.2）求解方法如果g（y）#o,方程（2.1）可化为,这样变彊就分离开了，两边积分，得到dyg(y)=f(x)dxf(x)dx+c(2.2)把f(x)dx分别理解为g(y)1o(y),/U)的某一个原函数.容易验证由(2.2)所确定的隐函数)，=/(兀,C)满足方程(2.1).因而(2.2)是(2.1)

3、的通解.如果存在儿使g(y°)=O,可知『=儿也是(2.1)的解.可能它不包含在方程的通解(2.2)屮，必须予以补上.3)例题例1求解方程◎=-兰dxy解将变量分离，得到ydy--xdx两边积分，即得y2x2c—I2-22因而，通解为X2+)"=C这里的C是任意的正常数.或解出显式形式y=±Jc-x2例2解方程解将变量分离，得到2=ycosxdy_7=cosxdx两边积分，即得1——=sinx+cy因而，通解为iy=:sinx+c这电的c是任意的常数.此外，方程还有解y=Q.注：1•常数c的选取保证(

4、2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解，有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含衣通解中的貝•它解，即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件y(x0)=儿的一个解，表示的是一条过点(兀0，儿)的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1)•形如dyz=8(2.5)的方程，称为齐次方程，这里的g(u)是"的连续函数.另外，i)对于方程dy_M(x,y)dxN(x,刃其中函数M(x,y)和N(x,y)都是兀和y的加次齐次

5、函数,即对/>0有M(tx.ty)三tmM(忑y)Ngty)三tmN(x.y)事实上，取t=-f则方程可改写成形如(2.5)的方程.X小、於m(i,2)ayx__xdx#”JV(1,2)XN(1上)Xii)对方程dxIt中右端函数f(x,y)是兀和y的零次齐次函数，即对f>0有则方程也可改写成形如(25)的方稈dydx对齐次方程（2.5）利川变量替换可化为变量分离方程再求解.(2.6)即y=ux,于是dydu-■-=XFUdxdx(2.7)将(2.6)、(2.7)代入(2.5),则原方程变为du(、xu

6、=g(u)dx整理后，得到du_g(u)-udxx(2.8)方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量,所得的解便是原方程（2.5）的解.例4求解方程冬=上+仪丄dxxx解这是齐次方程,以X=Uj^-=x^L+u代入，则原方程变为xdxdxduxu=u+tgudx即（2.9）分离变量，即有两边积分，得到du_tgudxxctgududxInsinu=x+c这里的2是任意的常数，整理厉，得到sinii=ex（2.10）此外，方程（2.9）还有解tgu=0,BPsi

7、nw=0.如果（2.10）中允许c=0,则sin”=0就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方稈的通解为sin^=cxX例如求解方程dy_x-y+dxx+y—3(2.11)解解方程组r-y+1=0得x=l,y=2.b+y_3=0dYX-YdX~X+Y(2」2)再令则(2.12)化为两边积分，得Y=uXdX1+w7—=duX-2u-u2InX"=—Inc厂+2u—1+c因此X2(w2+2w-l)=±e；id±ec=c,,并代冋原变量，就得Y2+2X

8、Y-X2(y-2)2+2(x-l)(y-2)-(x-l)2=c1此外，易验证w~+2u—1=0即Y2+2Xy-X2=0也就是(2.12)的解.因此方程(2.11)的通解为)厂+2xy-x^-6y-2x=c其屮c为任意的常数.注：1•对于齐次方程dx空=g〔冷的求解方法关键的一步是令u=上后，解出y再对两边求关于X的导数得^=u+x—，再将其代入齐次方程使方程变为关于u,x的可dxdx分离方程.x2•齐次方程也可以通过变换v=-而化为变量分离