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1、常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号:2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y)，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得:dy/g(y)=h(x)dx两端积分得：G(y)=H(x)+c,其中c任意的常数且G(y)=Ùdy/g(y)，H(x)=Ùh(x)âx，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y=(H(x)+c).例1.dy/dx=2xy解：当y¹0时，分离变量后得：dy/y=2xd
2、x,两边积分得：ln
3、y
4、=x^2+c1，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y值。例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为
5、齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C,C为任意的常数。现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y=c(x)，对x求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C+..例3.dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为：Y=exp(2Ùxâx)(c+Ùxexp(-2Ùxâx)âx)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c为任意的常数。三、Bernoulli方程,非线性方程转变为一阶线性方程dy/dx=a(x)y+f(x)y^a(2)当a=0和1时是上述讨论过的线性方
6、程，当a¹0和1时（2）方程是非线性方程，令z=y^(1-a),两边除y^a，令,由，由：dz/dx=(1-a)y^(-a)dy/dx,得dz/dx=(1-a)a(x)z+(1-a)f(x).把z=y^(1-a)代入可得通解为：y^(1-a)=+C,其中C为任意的常数，显然y=0也为方程的解。例4.dy/dx=6y/x-xy^2.解：当y¹0时，令z=,原方程变为dz/dx=-6/xz+x,这是一个一阶线性微分方程，其通解为：z=1/x^6(C+1/8x^8),从而原方程的通解为x^6/y-x^8/8=C,其中C为任意的常数，此外，显然y=0也是方程的解。恰当方程形式一、当dU
7、(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。（3）则是恰当方程。判断一个方程是否是恰当方程的充要条件是：dM/dy=dN/dx。则其通解为,或，其中C是任意的常数而且（,）为区域G内任意取定的一点。例5.dy/dx=-（6x+y+2）/（x+8y-3）;解：将原方程改写为（6x+y+2）dx+（x+8y-3）dy=0.这里M(x,y)=6x+y+2，N(x,y)=x+8y-3，由于：dM/dy=1=dN/dx，所以这是一个恰当方程，取=0，=0，可计算出：U（x,y）==3x^2+xy+2x+4y^2-3y故该方程的通解为3x^2+x
8、y+2x+4y^2-3y=C，其中C为任意的常数。二、积分因子法：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，不是恰当方程，但乘上一个适当的非零函数U=U（x,y）后，使得U（x,y）M(x,y)dx+U（x,y）N(x,y)dy=0，(4),成为恰当方程。函数U（x,y）是（3）的积分因子，存在g==W(x,y),使dW(x,y)=U（x,y）M(x,y)dx+U（x,y）N(x,y)dy,W(x,y)是（4）的通解，也是（3）的通解。例6.2xylnydx+(x^2+y^2)dy=0.解;M(x,y)=2xylny,N(x,y)=x^2+y^2,由于：E=dM/dy-dN/dx
9、=2xlny,所以他不是恰当方程。由于-E/M=-1/y与x无关，所以方程只与y的积分因子有关，U(y)n=1/y,因此方程;2xlnxdx+(x^2/y+y)dy=0,为恰当方程。取，=0,=1,,可计算出;U（x,y）==x^2lny+1/3(1+y^2)^3/2-2/3.故该方程的通解为;x^2lny+1/3(1+y^2)^3/2-2/3.=C,其中C为任意的常数。隐式方程一阶隐式方程，其一般式为：F（x,y,dy/dx）=0.,(5)即令p=dy/dx,，变成：F（x,y,p）=0，
