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1、一、证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则厶AGDsCCA例2、例3：已知AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD是角平分线，求证：AABC^ABCD已知，如图，D为ZXABC内一点连结ED、AD,以BC为边在AABC外作ZCBE=ZABD,ZBCE=ZBAD求证：△DBEs^ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、证明比例式和乘积式例5、AABC中，在AC±截取AD,在C
2、B延长线上截取BE,使AD=BE,求证：DF・AC=BC・FE例6：已知:如图，在AABC中,ZBAC=90°,M是BC的中点,DM丄BC于点E,交BA的延长线于点D。求证:(1)MA~MD・ME；(2)AE2_MEAD2~~MD例7：如图AABC中，AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证：AE：ED=2AF：FB。三、证明两角相等、两线平行和线段相等。例8：已知:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且EBABAF1-OAD3求证：ZAEF=ZFBD例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各
3、为四角的平分线,求证：SQ〃AB,RP〃BC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是ZO的两边上的点，且AB〃ED,BC〃FE,求证：AF〃CD例11、直角三角形ABC中，ZACB=90°,BCDE是疋方形，AE交BC于F,FG〃AC交AB于G,求证：FC=FG例12、RtAABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于O,过O引BC的平行线交AB于F,求证：AE=BFD《管困》例1分析：关键在找''角和等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。木例除公共角ZG外,由BC〃
4、AD可得Z1=Z2,所以△AGDs^EGC。再Z1=Z2(对顶角)，由AB〃DG可得Z4二ZG,所以△EGC^AEABo例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然ZC是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：VZA=36a,AABC是等腰三角形，/.ZABC=ZC=72°又BD平分ZABC,则ZDBC=36°在AABC和ABCD中，ZC为公共角，ZA=ZDBC=36°AAABC<^ABCD例3分析：由已知条件ZABD二ZCBE,ZDBC公用。所以ZDBE=ZABC,要证的ZDBE和ZABC,有
5、一•对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角和等，或者找夹这个角的两边対应成比例。从已知条件中可看到△CBE-AABD,这样既有相等的角，乂有成比例的线段，问题就可以得到解决。BCAB~BE~~BDBebe证明：在&E和泅中，ZCBE=ZABD,ZBCE=ZBAD.-.ACBE^AABDA-=-即:ARADBE和ZABC屮，ZCBE=ZABD,ZDBC公用•：ZCBE+ZDBC=ZABD+ZDECZDBE=ZABC且一二——AADBE^AABCBEBD例4分析：木题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下而我们来看一看相似三角形
6、的几种基木图形:(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形(1)如图:其中Z1=Z2,WIJAADE-AABC称为“相交线型”的相似三角形。EC(2)如图：Z1=Z2,ZB=ZD,则厶ADE^AABC,称为“旋转型”的和似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“和交线型”的相似三角形，及AEAF与AECA解：设AB=a,贝ljBE=EF=FC=3a,由勾股定理可求得人“屁在&AF与&CA中，“EF为公共角,且备1所以AEAFsAECA例5分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC,再利用相似三和形或平行线性
7、质进行证明:证明：过D点作DK〃AB,交BC于K,VDK//AB,ADF：FE=BK：BE乂TAD二BE,・・・DF：FE=BK：AD,而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC,・DF>AC=BC>FE例6证明：(1)VZBAC=90°,M是BC的屮点，AMA=MC,Z1=ZC,•••DM丄BC,.-.ZC=ZD=90°-ZB,AZ1=ZD,mameTZ2二Z2,AAMAE^AMDA,Z.——=——,AMAMlD^ME,atma(2)VAMAE^AMDA,——=——ADMDMDMAAEME.AE2MAMEME—•—AD~MA…AD
8、2"MDMA~MD评注:命题1如图，如果Z1=Z2,那么△ABDcoAACB,AB=AD>ACo命题2如图，如果AB2=AD>AC,那么△ABD^AACB,Z1=Z2O例7分析：
