相似三角形经典例题详解

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1、相似三角形经典例题详解相似三角形在期末考试综合题部分经常出现，相似三角形的判定，相似三角形的分类讨论都是中考的考察重点.经典例题：一、相似三角形的判定　　1．如图，△ABC中，点D在AC上，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连结AE.已给的图形中存在哪几对相似三角形？请选择一对进行证明.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对　　证明：(1)△ADE∽△AEC　　　　　　CE⊥BD于E　　　　　　　　　　　　∠BDC=60°，　　　　　　　　　　　　　　

2、　　　　CD=2AD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠BDC=60°，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△ADE∽△AEC　　证明：(2)∽　　提示：在证明△BCD∽△ACB时　　　　　证出①　　　　　　　②　　　　　　　③　　　　　　　④△BCD∽△ACB　　【点评】判定相似三角形的时候，计算角度是一个常用方法.两个三角形中两个角对应相等，则这两个三角形相似.本题每个角度都能计算自然相似的判定并不麻烦.2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标是(a，0)

3、，点F坐标是(0，b)．　　(1)请你写出圆心O的坐标(____，____)；　　　(用含a，b的代数式表示)　　(2)求线段BD的长.　　解：(1)()　　　　(2)，　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　∽，　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　点坐标是(，0)，　　　　　设的长为　　　　　　　　　　　　　　　∽　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　解之得：　　　　　的长为.　　【点评】本题看到比例式和圆中同弧所对的圆周角相等，可以判定相似三角形.二、相似三角形中的分类讨论　　3．如图

4、，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直.　　　　　　　　　　　　　　　　(1)设AD=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；　　(2)如果△CEF与△DEF相似，求AD的长.　　解：(1)∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，　　　　　∴∠FDB=∠B=60°.∴△BDF是等边三角形.　　　　　∵BC=1，∴AB=2.　　　　　∴2-x=1-y.　　　　　∴y=x-1.　　

5、　　　自变量的取值范围是：.　　　　(2)①如图，∠FED=90°，△CEF∽△DEF，　　　　　∴，即　　　　　解得，.　　　　　∴.　　　　　.　　　　　②如图，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，　　　　　∴，即.　　　　　解得，.　　　　　∴.　　　　　∴.【点评】在没有指明对应顶点的前提下，分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.　　4．如图所示，抛物线的顶点为A，其中．　　(1)已知直线：，将直线沿轴向(填“左”或“右”)平移个单位(用含的代数式)后　　　过点A；　　(2)设直线平移后与轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在

6、对称轴左侧的抛物线上是否存　　　在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△相似，且相似比为2？若存在，求出的值，并写出　　　所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：(1)右；　　　　(2)由题意点A(，0)，将其代入，得　　　　　∴此时直线的解析式：，点B(0，-)　　　　　以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2，共有以下四种情况，　　　　　①，当时　　　　　可得　　　　　∴，代入抛物线解析式得：　　　　　解得　　　　　②，当时　　　　　可得　　　　　∴，代入抛物线解析式得：　　　　

7、　解得　　　　　③，当时　　　　　可得　　　　　过作于，则　　　　　∴，代入抛物线解析式得：　　　　　解得　　　　　④，当时　　　　　可得　　　　　过作于，则　　　　　∴，代入抛物线解析式得：　　　　　解得　　　　　综上，符合条件的点共有四个：　　　　　【点评】在没有指明对应顶点的前提下，分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.