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1、特殊三角形专题复习【构造等腰三角形解题的常见途径】一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中岀现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1①中，若4D平分ZB4C,AD//EC,则/VICE是等腰三角形；如图1②中，AD平分ZBAC,DE//AC,则ZVIDE是等腰三角形；如图1③中，AQ平分ZBAC,CE//AB,则△ACE是等腰三角形；如图1④中，AD平分ZBAC,EF//AD,则ZV1GE是等腰三角形.BCB图1例1如图2,/XABC中，AB=AC,在AC_k取点P,过点P作EF丄BC,交BA的延长线于点E,垂足为点F.求证：AE=AP.例2如图3,在
2、△ABC中，ZBAC、ZBCA的平分线相交于点0,过点。作DE〃人C,分别交4B、BC于点ZXE.试猜想线段AD.CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由.例3如图4,AABC中，AD平分ABAC,E、F分别在3£＞、AD上，且DE=CD求证：EF//AB・二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5中，若AD平分ZBAC,AD丄DC,则ZVIEC是等腰三角形.例4如图6,已知等腰Rt/ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BF平分ZABC,CD丄BD交BF的延长线于D.求证：BF=2CD.A三、利用转化倍角，构造
3、等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图7①中，若Z4BC=2ZC,如果作3D平分ZABC.则是等腰三角形；如图7②中，若Z4BC=2ZC,如果延长线CB到D使连结AD,则△4DC是等腰三角形；如图7③中，若kB=2ZACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ZACD=ZACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.例5如图8,在△ABC中，ZACB=2ZB,BC=2AC.求证：ZA=90°・图8图1图3四、模拟画图例6已知在如图1的ZLABC中，AB=AC,ZA=36°,仿照图1，请你再用两种不同的方法，
4、将AABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）.【学力训练】一、基础夯实1.（第2题）2.（第3题）沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三3.4.（第1题）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是•如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点Pi，P2，P3，…,卩2（）08的位置，则点^2（X）8的横坐标为•将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成
5、四个更小的正三角形，……如此继续下去，结杲如下表：所剪次数1234•••n正三角形个数471013•••an则an=（用含n的代数式表示）.5.如图，在四边形ABCD中，AB=8,BC=1,ZDAB=30°,ZABC=60°,四边形ABCD的面积为5^3,求AD的长.B6.已知：如图，AB二AC,BD丄AC,垂足为点D。求证：ZDBC=1ZA.2DB二、提高训练：7.若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是力，给出下列结论：①以c2的长为边的三条线段能组成一个三角形②以肠，丽，的长为边的三条线段能组成一个三角形③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形④
6、以丄，丄的长为边的三条线段能组成直角三角形abc其中所有正确结论的序号为.8.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结用、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连结CM.(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；A(2)若FA二PB二PC,则APMC是三角形；若PA:PB:PO:迈：翻,试判断的形状，并说明理由.9.(2008杭州)如图，在等腰AABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交4C于点F.(1)证明：ZCAE=ZCBF；(2)证明：AE=BF；(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角
7、形ABG(点E与点F重合于点G),记厶ABC和△ABG的面积分别为S△仙。和S△磁，如果存在点P，能使得S△初c=S△磁，求ZC的収值范围.H（第9题）
