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1、28中等数学2005中国西部数学奥林匹克作AF垂直于DE,F为垂足.求证:BD平分线第一天段AF.(边红平供题)200520051.已知α+β可表示成以α+β、αβ6.在等腰Rt△ABC中,CA=CB=1,P是为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之△ABC边界上任意一点.求PA·PB·PC的最大和.(朱华伟供题)值.(李伟固供题)2.如图1,过圆外7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证一点P作圆的两条切明:线PA、PB,A、B为切10(a3+b3+c3)-9(a5+b5+c5)≥1.点,再过点P作圆的(李胜宏供题
2、)一条割线分别交圆于8.设n个新生中,任意3个人中有2个人C、D两点,过切点B图1互相认识,任意4个人中有2个人互不认识.试作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F.求求n的最大值.(唐立华供题)证:BE=BF.(冷岗松供题)参考答案3.设S={1,2,⋯,2005}.若S中任意n个kk两两互质的数组成的集合中都至少有一个质1.解法1:在α+β的展开式中,令α+β=1,kkαβ=1,其所求系数之和为Sk=α+β.由数,试求n的最小值.(唐立华供题)k-1k-1(α+β)(α+β)4.已知实数x1,x2,⋯,xn(n>2
3、)满足kkk-2k-2=(α+β)+αβ(α+β),n
4、∑xi
5、>1,
6、xi
7、≤1(i=1,2,⋯,n).有Sk=Sk-1-Sk-2.i=1从而,Sk=(Sk-2-Sk-3)-Sk-2=-Sk-3.求证:存在正整数k,使得同理,Sk-3=-Sk-6.kn所以,Sk=Sk-6.
8、∑xi-∑xi
9、≤1.(冷岗松供题)i=1i=k+1于是,数列{Sk}是以6为周期的周期数列.故S2005=S1=1.第二天kk解法2:在α+β的展开式中,令α+β=1,αβ=1,kk2其所求系数之和为Sk=α+β.则α、β是方程x-x+5.如图2
10、,1=0的根.由此解得⊙O1、⊙O2交于ππππα=cos+isin,β=cos-isin.A、B两点.过点O13333kk故α+β的直线DC交⊙O1kkππππ=cos+isin+cos-isin于点D且切⊙O23333图2kπkπkπkπ于点C,CA切⊙O1=cos+isin+cos-isin3333于点A,⊙O1的弦AE与直线DC垂直.过点A©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnk
11、i.net2006年第4期29©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net30中等数学 则H、B、C、E四点共圆.7.因为∑a3=1-3∏(a+b),故∠BHC=∠BEC.52∑a=1-5∏(a+b)[∑a+∑ab],又∠BEC=∠BDE,则故原不等式∠BHC=∠BDE.①Z10[1-3∏(a+b)]-9[1-5∏(a+b)·由AF⊥DE,得2π(∑a+∑ab)]≥1∠AGB=-
12、∠BDE.②2Z45∏(a+b)(∑a2+∑ab)≥30∏(a+b)由AE⊥DC,得Z3(∑a2+∑ab)≥2=2(∑a)2π∠AHB=-∠BHC.③22=2(∑a+2∑ab)由式①、②、③得∠AGB=∠AHB.Z∑a2≥∑ab.故A、G、H、B四点共圆.而a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以,∠AHG=∠ABG=∠AED.故2∑a2≥2∑ab,即∑a2≥∑ab.因此,GH∥DE.从而,原不等式成立.而H为AE的中点,故G为AF的中点.8.所求n的最大值为8.6.(1)如图5,当P∈AC时,有
13、当n=8时,如图7所示1PA·PC≤4,PB≤2.的例子满足要求,其中A1,2A2,⋯,A8表示8个学生,Ai故PA·PB·PC≤,4与Aj的连线表示Ai与Aj认其中等号不成立(因为两个等号不可能同时成立),识.2即PA·PB·PC<4.下设n个学生满足题设图7要求,证明n≤8.为此,先证明如下两种情况不可能出现.(1)若某人A至少认识6个人,记为B1,B2,⋯,B6,由拉姆赛定理,这6个人中或存在3个人互不相识,与图5图6已知任意3个人中有2个人互相认识矛盾;或存在3个(2)如图6,当P∈AB时,设AP=x∈[0,2]
14、,则人互相认识,这时,A与这3个人共4个人两两互相认222f(x)=PA·PB·PC识,与已知矛盾.222=x(2-x)(1+x-2x).(2)若某人A至多认识n-5个人,则剩下至少令t=x(2-x),则4个人均与A互不相识,从而,这4个人两两相识,矛12盾.t∈0,,f(x)=g(t)=t(1-t).2其次,当n≥
