2009中国西部数学奥林匹克

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1、万方数据2010年第1期2009中国西部数学奥林匹克中圈分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2010)01—0027—04第一天1．设肘是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合．证明：对任意的正整数n，都存在17,次多项式^茹)，使得火并)的所有系数及It个实根都属于肘．(冯志刚提供)2．给定整数凡≥3．求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和rt个两两不同的实数菇l，茗2，⋯，髫n，满足菇l+并2，石2+石3，⋯，菇川+菇。，‰+戈l均属于A．(熊斌提供)3．设

2、日为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点．过点日的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P．求证：P、A、E、F四点共圆．(边红平提供)4．求证：对任意给定的正整数k。总存在无穷多个正整数rl,，使得2“+38—1，2“+3“一2。⋯，2“+3“一k均为合数．(陈永高提供)第二天5．设数列{％}满足菇，∈{5，7}及当后≥1时，有戈⋯∈{5“，7q}．试确定茗：啷的末两位数字的所有可能值．(梁应德提供)6．如图l，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段

3、BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点x、P(异于点B、D)，以线段cD为直径的圆分别交直线AC、AD于点Y、Q(异于点C、D)．过点A作直线PX、Qy的垂线，垂足分别为M、Ⅳ．求证：B△AMN∽△ABC的充分必要条件是直图lC线AD过△ABC的外心．(李秋生提供)7．有It(It>12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分．分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这It个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题．求n的

4、最小可能值．(刘诗雄提供)8．实数al，a29o*o，口。(凡≥3)满足口l+a2+⋯+口n=O，且2a^≤口I—l+aI+l(k=2，3，⋯，It—1)．求最小的A(n)，使得对所有的k∈{1。2，⋯，It}，都有I口II≤A(凡)·max{Ia1I，Ia。I}．(李胜宏提供)参考答案第一天1．设a为集合T={名∈RIx∈M}中绝对值最大的元素，取实数k>max{}DI，l}．对任意的正整数，l，考察n次多项式万方数据中等数学以菇)=k(x+k)n．其m次项系数为、kc7·k”8≥Ii}．由克的

5、选取知，火石)的所有系数均不属于r，即必属于肘．同理，一k为八茗)的凡重实根，也属于M．故n次多项式／(茗)=k(髫+k)4满足条件．2．记石l+戈22ml，菇2+戈3=m2，⋯⋯髫n一1+Zn=mn一1，茗Ⅱ+茗l=玑n·首先，ml≠m2，否则，*l=戈3，矛盾．类似地，m。≠巩+1(i=1，2，⋯，n，m。+l=m1)．于是，ki>2．若k=2，不妨设A={口，b}(Ⅱ≠6)，使得或{量主主；6，c玮为奇数卜{≥三主主≥口，@为偶数卜①②号口=(戈l+算2)+(戈3+誓4)+⋯+(戈。一1+戈

6、。)=(z2+戈3)+(戈4+菇5)+⋯+(菇。+髫1)=争，故o=b，矛盾．对于k=3，构造例子如下：令戈弛一l=后，戈2I=n+1一k(k=1，2，⋯)．贝

7、J．当17,为偶数时，名i+戈i+1。，i为奇数；，i为偶数且i<尼；2，i=n(x。l=菇1)．n+l，i为奇娄咀i<见；n+2，i为偶数；孚+2，湎(钆。=钔．综上，所求的k的最小值为3．3．如图2，延长HD至点M，使HD=DM，联结BM、CM、BH、CH．因为D为边BC的中点，所以，四边形BHCM为平行四边形．于是，图2么BMC=么

8、BHC=t800一么BAC。即么BMC+么删C=1800．因此，点肘在△ABC的外接圆上．如图2，联结PB、PC、PE、阿。因AE=AF，日为△ABC的垂心，所以，么BFH=么CEH，①么HBF=90。一么BAC=么HCE．②结合式①、②知△启朋∽△伽精篇=器．由四边形BHCM是平行四边形知BH=CM．CH=BM．于是，笔：器．③于是，面2丽。④又D为边BC的中点，则S凹删．=．s凹删．故÷即·BMsin么MBP=i．ItCP·CMsin么MCP．万方数据2010年第1期由么MBP+么MCP=18

9、00，得BP·BM=CP·CM．④结合式③、④知历BF=器．因为么朋F=么PCE，所以。△PBF∽△P蚀j么PFB=么PEC．于是，么PFA=么PEA．从而，P、A、E、F四点共圆．4．对任意给定的正整数k，取足够大的正整数m，使得2“+3”一k>1．考察2“+3“一1，2“+3“一2，⋯，2“+3“一k这k个大于1的正整数，依次取每个数的一个质因子Pl，P2，⋯，PI，记仉=m+￡Ⅱ(pi—1)(￡∈N+)．下面证明：对任意的1≤i≤

10、

11、}，有2～E2”(modPi)．若P；=2