2011中国西部数学奥林匹克

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1、中等数学2011中国西部数学奥林匹克中图分类号：C,424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)O1—0022—04第一天⋯，A，求∑(一1)S(A)的所有可能值，其1．已知0<、Y<1．求中，S(A)=∑x，S()=0．∈一‘型!=二)(梁应德供题)(+y)(1一)(1一y)4．如图1，AB、CD是o0中长度不相等的最大值．(刘诗雄供题)的两条弦，AB与CD交于点，o，内切o02．设集合肘{l，2，⋯，2O11}满足：在的任意三个元素中都可以找到两个元素a．b，使得alb

2、或bl口．求lMl的最大值(1l表示集合肘的元素个数)．(冯志刚供题)3．给定整数n>12．(1)证明：可以将集合{l，2，⋯，，z}的所有子集适当地排列为A。，A。，⋯，A：，使得A与4⋯(i=1，2，⋯，2“，且A2⋯=A1)的元素个数恰相差1．图l(2)对于满足(1)中条件的子集A，A：，就够了．CE’=CE，AD若取出22只袜子，一定能配成9双袜ECE=90。．子，假如剩下4只四种颜色一样一只，则22从而，△DCE只袜子就配不成10双袜子．逆时针旋转90。就得因此，至少需要23只袜子就一

3、定可以配到△BCE．成l0双．故DE=BE解法2由于单色袜子最多剩下4只，△DBE是图5因此，24只袜子一定能够配成1O双．正三角形当取出23只袜子时，一定能够配成9jDBE=60o．双，此时，剩下5只袜子；EBC=CBEt5只袜子中，可以配成1双，于是，23只=DBE一DBC=150．袜子也可以配成l0双．故DBE=30。DEB=750．以下同解法1．而DFE=BFC=90。一FBC=75。，五、如图5，作E关于BC的对称点E，故DEB=DFEDE=DF．联结DE、CE、BE．据对称性质有BE

4、=BE=BD．(李昌勇提供)2012年第1期于点，，且分别与弦AB、CD切于点G、且过≤x20丽yz占8·点0的直线z分别与AB、CD交于点P、Q，·2、{弘-2戤使得=eQ，直线与直线z交于点综上，所．一⋯⋯，1·证明：过点且与AB平行的直线是oD的切线．(李秋生供题)2．当M={1，2，22，⋯，21o，3，3×2，3×22，⋯，3×29}第二天时满足条件，此时，IMI=21．5．是否存在奇数n(n>-3)及n个互不相假设lMI≥22，设中的元素为同的质数P1，P2，⋯，P，使得Pi+P⋯(

5、i=1，a1-22)．2，⋯，n，P+。=P)都是完全平方数?请证明首先证明：口+2≥2口．你的结论．(陶平生供题)否则，a0．证明：故aa、an+2中任意两个元素之间没(二+：(=￡2：+(!=2：有整数倍数关系，矛盾．(C+口)(c+6)。(口+6)(口+c)。(b+c)(6+口)由上述结论：a4≥2口2≥4，≥．(李胜宏供题)a6≥204≥8，7．在△ABC中，AB>AC，内切圆o，与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M

6、是边a22≥2口20>12“>201l，BC的中点，AIt上BC于点Ⅳ，BAC的平分矛盾．线A，分别与直线DE、DF交于点K、L证明：综上，I肘l的最大值为21．肘、、H、K四点共圆．(边红平供题)3．(1)用数学归纳法证明：存在满足要8．求所有的整数对(a，6)，使得对任意求的子集序列A，A，⋯，A：，且A。={1}，的正整数n都有，lI(a+b”’)．A2=．(陈永高供题)当n：2时，序列{1}、{1，2}、{2}、f2j满足要求．参考答案假设当=k时，存在满足要求的子集序第一天列l，82⋯

7、，2“对于n=k+1，构造序列如下：1·当，，寺时，代数式的值为寺·A1=Bl={1}，下面证明：对任意的0<、Y<1，有A=Bu{k+1}(i=2，3，⋯，2+1)，Aj=曰(_『=2+2，2+3，⋯，2¨)．(+辫Y)(1一)(1一Y)≤8-2k易验证序列A，，⋯，A：川满足要求．恒成立．综上，对任意的正整数n(n≥2)，存在满当+Y≥1时，足要求的子集序列．(+鬻Y)(1一)(1一Y)≤0<、上8．‘(2)不妨设A．={l}．因为相邻两个子集的元素个数相差1，所以，必然是一个奇数当+Y<1

8、时，设1一—Y=>0．贝Ⅱ和一个偶数．因此，子集的元素个数与该子集【!=二2(+Y)(1一)(1一Y)的角标的奇偶性相同．'n一：堑竺一故∑(_1)．s(A)=∑．s(A)一∑s(A)，一(+Y)(Y+)(+)24中等数学其中，P是{1，2，⋯，n}的所有偶数元子集构成的集合，Q是{1，2，⋯，，t}的所有奇数元子集构成的集合．对于任意∈{1，2，⋯，n}，由于它在所有的

9、i}元子集中出现了Ck一-：次，因此，它在(Mj)∑

10、s(A)一∑Js(A)中的贡献为∈P^∈Q∑(．1)c：：I_一(1—