《高等数学教学资料》01第一节中值定理

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1、第三章中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道，导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”•此类问题在当吋的生产实践中具有深刻的应用背景，例如，求炮弹从炮管里射岀后运行的水平距离(即射程)，其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角).又如，在天文学中，求行星离开太阳的最远和最近距离等.一直以來，导数作为函数的变化率,在研究两数变化的性态中有着十分重要的意义，因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中，我们介绍了微分学的两个基本概念一导数与微分及其计算方法.本章以微分学基本定理一微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函

2、数的性态，例如判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法，最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节中值定理屮值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数Z间的关系，因而称为中值定理.中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型，因而称为微分中值定理.分布图示★费马引理★罗尔定理★例1★例2★例3★例4★例5★拉格朗日中值定理★例6★例7★例8★例9★柯西中值定理★例10★例11★内容小结★课堂练习★习题3・1★返回内容要点一、罗尔定理：在闭区间上连续；在开区间(G,历内可

3、导；在区间端点的函数值相等，即f(a)=/(/?).结论:在(a,b)内至少存在一点g(dvfvb),使得厂©=0.注：罗尔定理的三个条件是十分重要的，如果有一个不满足，定理的结论就可能不成立.分别举例说明Z.罗尔定理中/(«)=f{b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制.拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进-步的研究，取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间s,切上连续；在开区间(d,方)内可导.结论：在方)内至少存在一点b),使得f(b)-/(a)=拉格

4、朗日屮值公式反映了可导函数在S,b］上整体平均变化率与在⑺上)内某点纟处函数的局部变化率的关系.若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为Ay=+•Ax(Ov&vl).称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有吋也称这个定理为微分中值定理.在某些问题小，当自变量x取得有限增塑Ar而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日屮值定理就突显出其重要价值.推论1如果函数/(兀)在区间/上的导数恒为零，那末兀无)在区间/上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间S,

5、6］上连续；在开区间(cM)内可导；在(C)内每一点处,g'(兀)工0・结论：在(a,b)内至少存在一点§(avgvb),使得/(a)—/(〃)二广©g(d)—g(b)g@)显然,若取g(x)=兀,则g(b)-g⑷二方-a,g‘(兀)=1,因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲罗尔定理的应用例1对函数/(x)=sin2x在区间［0,刃上验证罗尔定理的正确性.解显然/(Q在［0,龙］上连续，在(0,龙)内可导，且/(0)=/(^)=0,而在(0,龙)内确存在一点^=—使2=(2sinxcosx)

6、v

7、=/r/2=0.例2(E01)不求导数，判断函数/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为/(i)=/(2)=/⑶=0,所以/(兀)在闭区间［1,2］、［2,3］上满足罗尔定理的三个条件，从而，在(1,2)内至少存在一点匚使/@)=0,即厶是门劝的一个零点；又在(2,3)内至少存在一点込，使/@2)=0,即-是八朗的一个零点；又因为/'(X)为二次多项式，最多只能有两个零点，故/'(X)恰好有两个零点，分别在区间(1,2)和(2,3)内.例3(E02)证明方程?-5x+l=0有且仅有一个小于1的正实根.证设/(x)=x

8、5-5x+1=1,则/⑴在［0,1］上连续,且/(0)=h/(l)=-3.由介值定理,存在x0e(0,1),使f(xQ)=0,即为方程的小于1的正实根.设另有兀1g(0,1),兀iH兀°，使/Ui)=0.因为f(x)在勺,坷之I'可满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点§(在勺內之间)，使得广©=0.但fx)=5(x4-1)<0(xg(0,1)),导致矛盾,故兀0为唯一实根.例4设⑷畑也…爲为满足d《+...+(_1严=_^=0132n-的实数，试证明方程a〕cosx+a2cos3兀+•••+。“cos(2n-l)x=0,在(0,龙/2)内至少存在一个实根.

9、证作辅助函数/(x)=«

10、Sinx+—